Question

几何体P-ABC中，AB=AC=3，AP=4，PA⊥面ABC，∠BAC=90°，D是PA中点，点E在BC上，且BE=2CE．
（1）求直线DE与PC夹角θ的余弦值；
（2）求直线DE与平面ABC所成角α的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）建立空间直角坐标系，分别求出两条直线所在的向量，利用向量之间的运算计算出两个向量的夹角，进而转化为两条异面直线的夹角；
（2）连接AE，根据PA⊥面ABC，可得∠DEA为直线DE与平面ABC所成角，从而可求直线DE与平面ABC所成角α的余弦值．
解答：解：（1）以A为坐标原点建立空间直角坐标系，

则由已知得：D（0，0，2），E（1，2，0），
所以=（1，2，-2），=（0，3，-4），=（3，0，0），=（-2，2，0）．
所以直线DE与PC夹角θ的余弦值为：cos=
（2）连接AE，则∵PA⊥面ABC，∴∠DEA为直线DE与平面ABC所成角
∵=（1，2，0），
∴直线DE与平面ABC所成角α的余弦值为．
点评：本题考查线线角、考查线面角，建立空间直角坐标系，利用空间向量的知识解决空间角是解题的关键．