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已知点P在曲线C:y=(x>1)上,设曲线C在点P处的切线为l,若l与函数y=kx(k>0)的图象的交点为A,与x轴的交点为B,设点P的横坐标为t,A、B的横坐标分别为xA、xB,记f(t)=xA•xB
(Ⅰ)求f(t)的解析式;
(Ⅱ)设数列{an}(n≥1,n∈N)满足a1=1,an=(n≥2),数列{bn}满足bn=,求an与bn
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,当1<k<3时,证明不等式:a1+a2+…+an
【答案】分析:(Ⅰ)先求出曲线C在点P处的切线为l的方程,求出点B的坐标,联立切线方程与方程y=kx求出点A的坐标,代入f(t)=xA•xB.就可求得f(t)的解析式;
(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论求出数列{an}的递推关系,再利用bn=求出数列{bn}的递推关系,根据k的取值分别求出an与bn即可.
(Ⅲ)利用(Ⅱ)的结论求出数列{an-}的表达式,再对其用放缩法求和,即可证明不等式:a1+a2+…+an
解答:解:(Ⅰ)∵,∴,又点P的坐标为
曲线C在点P处的切线的斜率为,则切线l的方程为
令y=0,得xB=2t;由
(3分)
(Ⅱ)由已知,n≥2时,,得

①当k=3时,b1=0,数列{bn}是以0为首项的常数列,则bn=0,从而an=1;(5分)
②当k≠3时,,数列{bn}为等比数列,bn=
从而
综上,,bn=(8分)
(Ⅲ)
∵1<k<3,∴
,(10分)

=
,(12分)
又∵
,∴,即所证不等式成立.(14分)
点评:本题涉及到用放缩法来证明不等式.当函数与数列,不等式合在一起出题时,多会涉及到用放缩法来证明不等式.在放缩时,放缩的度要把握好.
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知点P在曲线C:y=
1
x
(x>1)上,设曲线C在点P处的切线为l,若l与函数y=kx(k>0)的图象的交点为A,与x轴的交点为B,设点P的横坐标为t,A、B的横坐标分别为xA、xB,记f(t)=xA•xB
(Ⅰ)求f(t)的解析式;
(Ⅱ)设数列{an}(n≥1,n∈N)满足a1=1,an=f(
an-1
)
(n≥2),数列{bn}满足bn=
1
an
-
k
3
,求an与bn
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,当1<k<3时,证明不等式:a1+a2+…+an
3n-8k
k

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知点P在曲线C:y=
1
x
 (x>1)
上,曲线C在点P处的切线与函数y=kx(k>0)的图象交于点A,与x轴交于点B,设点P的横坐标为t,点A、B的横坐标分别为xA、xB,记f(t)=xA•xB
(1)求f(t)的解析式;
(2)设数列{an}满足a1=1,an=f(
an-1
) (n≥2 且 x∈N*)
,求数列{an}的通项公式;
(3)在 (2)的条件下,当1<k<3时,证明不等式a1+a2+…+an
3n-8k
k

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科目:高中数学 来源:2009-2010学年浙江省宁波市余姚中学高三(上)第二次质量检测数学试卷(理科)(解析版) 题型:解答题

已知点P在曲线C:y=(x>1)上,设曲线C在点P处的切线为l,若l与函数y=kx(k>0)的图象的交点为A,与x轴的交点为B,设点P的横坐标为t,A、B的横坐标分别为xA、xB,记f(t)=xA•xB
(Ⅰ)求f(t)的解析式;
(Ⅱ)设数列{an}(n≥1,n∈N)满足a1=1,an=(n≥2),数列{bn}满足bn=,求an与bn
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,当1<k<3时,证明不等式:a1+a2+…+an

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知点P在曲线C:y=
1
x
 (x>1)
上,曲线C在点P处的切线与函数y=kx(k>0)的图象交于点A,与x轴交于点B,设点P的横坐标为t,点A、B的横坐标分别为xA、xB,记f(t)=xA•xB
(1)求f(t)的解析式;
(2)设数列{an}满足a1=1,an=f(
an-1
) (n≥2 且 x∈N*)
,求数列{an}的通项公式;
(3)在 (2)的条件下,当1<k<3时,证明不等式a1+a2+…+an
3n-8k
k

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