Question

已知公比q为正数的等比数列a_n的前n项和为S_n，且5s₂=4s₄．
（Ⅰ）求q的值．
（Ⅱ）若b_n=q+s_n-1，（n≥2，n∈N^*）且数列b_n也为等比数列，求数列（2n-1）b_n的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（I）分q=1，q≠1两种情况，利用等比数列的求和公式，转化可得关于首项a₁和公比q的方程，从而可得a₁与q，可得答案，（II）由（I）代入可得b_n=

1

2

+2a1-a1• (

1

2

)n-2，由题意结合等比数列通项的结构可得

1

2

+2a1=0，从而可求a₁，进一步求出b_n，由于（2n-1）•b_n是等差数列与等比数列的积，适合用错位相减求和．

解答：解：（Ⅰ）若q=1，则5S₂=10a₁，4S₄=16a₁，∵a₁≠0，
∴5S₂≠4S₄，不合题意．（2分）
若q≠1，由5S₂=4S₄得5×

a1(1-q2)

1-q

=4×

a1(1-q4)

1-q

，
∴q2=

1

4

，又q＞0，
∴q=

1

2

．．（5分）
（Ⅱ）bn=

1

2

+

a1[1-( 1 2 )n-1]

1- 1 2

=

1

2

+2a1-a1•(

1

2

)n-2，（7分）
由b_n为等比数列知：

1

2

+2a1=0，得a1=-

1

4

，
∴bn=

1

4

•(

1

2

)n-2=

1

2n

．（9分）
则Tn=

1

2

+

3

22

+

5

23

+…+

2n-1

2n

①

1

2

Tn=

1

22

+

3

22

+…+

2n-3

2n

+

2n-1

2n+1

②
两式相减化简得T_n=3-

2n+3

2n

（12分）

点评：（I）等比数列的通项公式与前n和公式之间的关系关键在于熟练的应用公式，确定基本量之间的关系，而等比数列的求和公式时，要注意对公比q=1和q≠1的讨论
（II）熟练掌握等比数列通项公式的结构是解决此问题的关键，求和的方法关键在于通项，若数列a_n•b_n中a_n为等差数列，b_n为等比数列，对该数列求和用错位相减．