Question

已知直线l：mx+ny-1=0（m，n∈R^*）与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且直线l与圆x²+y²=4相交所得弦长为2．
（Ⅰ）求出m与n的关系式；
（Ⅱ）若直线l与直线2x+y+5=0平行，求直线l的方程；
（Ⅲ）若点P是可行域

2x+y-8≥0 x-y-2≥0 x≤4

内的一个点，是否存在实数m，n使得|OA|+|OB|的最小值为2

6

，且直线l经过点P？若存在，求出m，n的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（I）由圆的方程找出圆心坐标和半径r，由直线l被圆截得的弦长与半径，根据垂径定理及勾股定理求出圆心到直线l的距离，然后再利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线l的距离，两者相等列出关系式，整理后求出m²+n²的值，
（II）根据直线平行的条件求出m=2n，再代入（I）求得式子，即可求得所求的直线的方程．
（III）对于存在性问题，可先假设存在，即假设存在实数m，n使得|OA|+|OB|的最小值为2

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，且直线l经过点P．再利用线性规划的方法，研究取得最值的条件，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．

解答：解：（I）由圆x²+y²=4的方程，得到圆心坐标为（0，0），半径r=2，
∵直线l与圆x²+y²=4相交所得弦CD=2，
∴圆心到直线l的距离d═

r2-( CD 2 )2

=

3

，
∴圆心到直线l：mx+ny-1=0的距离d═

1

m2+n2

=

3

，
整理得：m²+n²=

1

3

，
（II）直线l：mx+ny-1=0的斜率为-

m

n

，直线2x+y+5=0的斜率为-2，∴-

m

n

=-2，m=2n
结合（I）得m=

2 15

15

，n=

15

15

，
故所求的直线的方程为 2x+y-

15

=0，
（III）令直线l解析式中y=0，解得：x=

1

m

，
∴A（

1

m

，0），即OA=

1

m

，
令x=0，解得：y=

1

n

，∴B（0，

1

n

），即OB=

1

n

，
则OA+OB=

1

m

+

1

n

≥2

1 mn

≥2

6

，当且仅当m=n=

6

6

时，OA+OB取最小值．此时直线l的方程为：
x+y-

6

=0，如图，作出可行域

2x+y-8≥0 x-y-2≥0 x≤4

的图形，是一个三角形ABC及其内部，而△ABC及其内部
都在直线x+y-

6

=0的同侧，与直线x+y-

6

=0没有公共点，
所以不存在满足条件的直线l，即不存在实数m，n使得|OA|+|OB|的最小值为2

6

，且直线l经过点P．

点评：本小题主要考查点到直线的距离公式、直线的一般式方程与直线的平行关系、简单线性规划等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．