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已知在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB=1,∠BCD=45°,∠BAD=90°,将△ABD沿对角线BD折起到如下图所示PBD的位置,使平面PBD⊥平面BCD.

(1)求证:CD⊥PB;

(2)求二面角P—BC—D的大小(用反三角函数表示);

(3)求点D到平面PBC的距离.

解析:∵∠BAD=90°,AD=AB,?

∴∠ADB=∠ABD=45°.∵AD∥BC,∠BCD=45°,∴∠BDC=90°,∴BD⊥DC.?

如下图所示建立空间直角坐标系D—xyz,设BA=1,?

则D(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),P(,0,).

(1)证明:=(0,- ,0),=(,0,- ).?

·=0,?

,∴CD⊥PB.

(2)解:取平面BDC的法向量n=(0,0,1),?

设平面PBC的法向量为m=(x,y,z)?

=(,0,- ),=(-,,- ),?

令x=z=1,∴y=1,∴m=(1,1,1).?

∴cos〈n,m〉===.?

∴二面角P—BC—D的大小为arccos.

(3)解:过D做DM⊥平面PBC于点M,?

∴cos〈,m〉==.?

∴D到平面PBC的距离||=||×cos〈,m〉=.


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6
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