Question

16．解关于x的不等式：$\frac{ax}{x-1}≤1$．

Answer 1

分析 分当a＞1、当a=1、当0＜a＜1，a=0，a＜0情况，分别求出不等式的解集．

解答 解：：$\frac{ax}{x-1}≤1$可得$\frac{ax}{x-1}$-1≤0，即$\frac{（a-1）x+1}{x-1}$≤0，
等价于[（a-1）x+1]（x-1）≤0，且x≠1，
当a＞1时，解得$\frac{1}{1-a}$≤x＜1，
当a=1时，解得x＜1，
当a＜1时，不等式化简为（x-$\frac{1}{1-a}$）（x-1）≥0，且x≠1
①当0＜a＜1时，解得x＜1或x≥$\frac{1}{1-a}$，
②当a=0时，解得x≠1，
③当a＜0时，解得x≤$\frac{1}{1-a}$或x＞1，
综上所述，当a＞1时，不等式的解集为[$\frac{1}{1-a}$，1），
当a=1时，不等式的解集为（-∞，1），
当0＜a＜1时，不等式的解集为（-∞，1）∪[$\frac{1}{1-a}$，+∞），
当a=0时，不等式的解集为（-∞，0）∪（0，+∞），
当a＜0时，不等式的解集为（-∞，$\frac{1}{1-a}$]∪（1，+∞）．

点评 本题主要考查一元二次不等式、分式不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．