Question

已知抛物线方程为y²=2px（p＞0）．
（1）若点(2，2

2

)在抛物线上，求抛物线的焦点F的坐标和准线l的方程；
（2）在（1）的条件下，若过焦点F且倾斜角为60°的直线m交抛物线于A、B两点，点M在抛物线的准线l上，直线MA、MF、MB的斜率分别记为k_MA、k_MF、k_MB，求证：k_MA、k_MF、k_MB成等差数列；
（3）对（2）中的结论加以推广，使得（2）中的结论成为推广后命题的特例，请写出推广命题，并给予证明．
说明：第（3）题将根据结论的一般性程度给予不同的评分．

Answer 1

分析：（1）由(2，2

2

)在抛物线上，得p=2，由此能导出抛物线的焦点F的坐标和准线l的方程．
（2）抛物线的方程为y²=4x，过焦点F（1，0）且倾斜角为60°的直线m的方程为y=

3

(x-1)，由

y2=4x y= 3 (x-1)

可得3x²-10x+3=0，解得点A、B的坐标为A(3，2

3

)，B(

1

3

，-

2 3

3

)，由此能导出k_MA、k_MF、k_MB成等差数列．
（3）①推广命题：若抛物线的方程为y²=4x，过焦点F的直线m交抛物线于A、B两点，M为抛物线准线上的一点，直线MA、MF、MB的斜率分别记为k_MA、k_MF、k_MB，则k_MA、k_MF、k_MB成等差数列．再由抛物线的性质和韦达定理进行证明．
②推广命题：若抛物线的方程为y²=2px（p＞0），过焦点F的直线m交抛物线于A、B两点，M为抛物线准线上的一点，直线MA、MF、MB的斜率分别记为k_MA、k_MF、k_MB，则k_MA、k_MF、k_MB成等差数列．再由抛物线的性质结合分类讨论思想进行证明．

解答：解：（1）∵(2，2

2

)在抛物线上，由(2

2

)2=2p×2得p=2
∴抛物线的焦点坐标为F（1，0），
准线l的方程为x=-1
（2）证明：∵抛物线的方程为y²=4x，过焦点F（1，0）且倾斜角为60°的直线m的方程为y=

3

(x-1)
由

y2=4x y= 3 (x-1)

可得3x²-10x+3=0x1=3，x2=

1

3

解得点A、B的坐标为A(3，2

3

)，B(

1

3

，-

2 3

3

)
∵抛物线的准线方程为x=-1，设点M的坐标为M（-1，t），
则kMA=

2 3 -t

4

，kMB=-

2 3 +3t

4

，kMF=-

t

2

，
由kMA+kMB=

2 3 -t

4

-

2 3 +3t

4

=-t=2×(-

t

2

)=2kMF
知k_MA、k_MF、k_MB成等差数列．
（3）本小题可根考生不同的答题情况给予评分
①推广命题：若抛物线的方程为y²=4x，过焦点F的直线m交抛物线于A、B两点，M为抛物线准线上的一点，直线MA、MF、MB的斜率分别记为k_MA、k_MF、k_MB，则k_MA、k_MF、k_MB成等差数列．
证明：
抛物线y²=4x的焦点坐标为F（1，0），当直线l₁平行于y轴时，
由（2）知命题成立．
设M点坐标为M（-1，t）
当直线m不平行于y轴时，设m的方程为y=k（x-1），其与抛物线的交点坐标为A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），则有x1=

y 2 1

4

，x2=

y 2 2

4

由

y2=4x y=k(x-1)

得ky²-4y-4k=0，即y₁y₂=-4kMA=

y1-t

x1+1

=

y1-t

y 2 1 4 +1

=

4(y1-t)

y 2 1 +4

，kMB=

y2-t

x2+1

=

4(y2-t)

y 2 2 +4

kMA+kMB=

4(y1-t)

y 2 1 +4

+

4(y2-t)

y 2 2 +4

=

4(y1-t)( y 2 2 +4)+4(y2-t)( y 2 1 +4)

( y 2 1 +4)( y 2 2 +4)

=

4[(y1 y 2 2 + y 2 1 y   2 +4(y1+y2)-t( y 2 2 + y 2 1 -8)]

y 2 1 y 2 2 +4( y 2 1 + y 2 2 )+16

=

-4t( y 2 2 + y 2 1 +8)

4( y 2 1 + y 2 2 +8)

=-tkMF=

0-t

1+1

=-

t

2

，∴k_MA+k_MB=2k_MF，即k_MA、k_MF、k_MB成等差数列
②推广命题：若抛物线的方程为y²=2px（p＞0），过焦点F的直线m交抛物线于A、B两点，M为抛物线准线上的一点，直线MA、MF、MB的斜率分别记为k_MA、k_MF、k_MB，则k_MA、k_MF、k_MB成等差数列．
证明：抛物线的焦点F的坐标为F(

p

2

，0)，准线方程为x=-

p

2

，设M点坐标为M(-

p

2

，t)
设m与抛物线的交点坐标为A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），则有x1=

y 2 1

2p

，x2=

y 2 2

2p

（ⅰ）当直线m平行于y轴时，直线m的方程为x=

p

2

，
此时有A(

p

2

，p)，B(

p

2

，-p)，∴y₁y₂=-p²
（ⅱ）当直线m不平行于y轴时，直线m的方程可设为y=k(x-

p

2

)
由

y2=2px y=k(x- p 2 )

得

k

2p

y2-y-

pk

2

=0∴y₁y₂=-p²kMA=

y1-t

x1+ p 2

=

y1-t

y 2 1 2p + p 2

=

2p(y1-t)

y 2 1 +p2

，kMB=

y2-t

x21+ p 2

=

y2-t

y 2 2 2p + p 2

=

2p(y2-t)

y 2 2 +p2

kMA+kMB=

2p(y1-t)

y 2 1 +p2

+

2p(y2-t)

y 2 2 +p2

=2p

(y1-t)( y 2 2 +p2)+(y2-t)( y 2 1 +p2)

( y 2 1 +4)( y 2 2 +4)

=2p

-t( y 2 1 + y 2 2 +2p2)

p2( y 2 1 + y 2 2 +2p2)

=-

2t

p

kMF=

0-t

p 2 + p 2

=-

t

p

，
∴k_MA+k_MB=2k_MF，即k_MA、k_MF、k_MB成等差数列

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与抛物线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．