Question

已知曲线y=

1

3

x³+

4

3

．
（1）求曲线在x=2处的切线方程；
（2）求曲线过点（2，4）的切线方程．

Answer 1

（1）∵P（2，4）在曲线 y=

1

3

x3+

4

3

上，且y'=x²
∴在点P（2，4）处的切线的斜率k=y'|_x=2=4；
∴曲线在点P（2，4）处的切线方程为y-4=4（x-2），即4x-y-4=0．
（2）设曲线 y=

1

3

x3+

4

3

与过点P（2，4）的切线相切于点A（x₀，

1

3

x03+

4

3

），
则切线的斜率 k=y′|x=x0=x02，
∴切线方程为y-（

1

3

x03+

4

3

）=x₀²（x-x₀），
即 y=

x

20

•x-

2

3

x

30

+

4

3

∵点P（2，4）在切线上，
∴4=2x₀²-

2

3

x03+

4

3

，即x₀³-3x₀²+4=0，
∴x₀³+x₀²-4x₀²+4=0，
∴（x₀+1）（x₀-2）²=0
解得x₀=-1或x₀=2
故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0．