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    【题目】公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在跑步英雄阿基里斯前面1000米处开始与阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米，当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟领先他10米，当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟先他1米....所以，阿基里斯永远追不上乌龟.按照这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为0.001米时，乌龟爬行的总距离为（ ）

    A.米B.米C.米D.米

    【答案】A

    【解析】

    根据乌龟每次爬行的距离构成等比数列，写出和，再结合等比数列的求和公式，即可求解.

    由题意，乌龟每次爬行的距离构成等比数列，

    其中，且，

    所以乌龟爬行的总距离为.

    故选：A.

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    【题目】有限数列，若满足，是项数，则称满足性质.

    （1）判断数列和是否具有性质，请说明理由.

    （2）若，公比为的等比数列，项数为10，具有性质，求的取值范围.

    （3）若是的一个排列都具有性质，求所有满足条件的.

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    【题目】已知抛物线的准线与半椭圆相交于两点，且.

    （Ⅰ）求抛物线的方程；

    （Ⅱ）若点是半椭圆上一动点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，求面积的取值范围.

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    【题目】已知函数.

    （Ⅰ）当时，求在上的最值；

    （Ⅱ）若对一切，不等式恒成立，求实数a的取值范围.

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    【题目】如图，某森林公园内有一条宽为100米的笔直的河道（假设河道足够长），现拟在河道内围出一块直角三角形区域养殖观赏鱼.三角形区域记为，到河两岸距离，相等，，分别在两岸上，.为方便游客观赏，拟围绕区域在水面搭建景观桥.为了使桥的总长度（即的周长）最短，工程师设计了以下两种方案：

    方案1：设，求出关于的函数解析式，并求出的最小值.

    方案2：设米，求出关于的函数解析式，并求出的最小值.

    请从以上两种方案中自选一种解答.（注：如果选用了两种解答方案，则按第一种解答计分）

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    【题目】某市举行“中学生诗词大赛”，分初赛和复赛两个阶段进行，规定：初赛成绩大于90分的具有复赛资格，某校有800名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区间内，其频率分布直方图如图．

    （Ⅰ）求获得复赛资格的人数；

    （Ⅱ）从初赛得分在区间的参赛者中，利用分层抽样的方法随机抽取人参加学校座谈交流，那么从得分在区间与各抽取多少人?

    （Ⅲ）从（Ⅱ）抽取的人中，选出人参加全市座谈交流，设表示得分在区间中参加全市座谈交流的人数，求的分布列及数学期望E（X）.

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    【题目】新型冠状病毒（SARS-COV-2）是2019年在人体中发现的冠状病毒新毒株，主要通过呼吸道飞沫进行传播，鉴于其特殊的传播途径，某科学医疗机构发现一次性医用口罩起着一定的防护作用一般，口罩在投入市场前需做一系列的检测，其中罩体污点、鼻梁条缺陷、耳绳异常等常规瑕疵肉眼可见，而耳绳尤为关键，会出现耳绳缺失、错位、错熔、漏熔四种情况 .现在生产商大多采用全自动生产线生产口罩，某工厂现有甲（1台本体机拖2台耳带机）和乙（1台本体机拖3台耳带机）两条生产线，已知甲生产线的日产量为7万只，乙生产线的日产量为10万只，生产商为了了解是否有必要更换原有的甲生产线，在设备生产状况相同，不计其他影响的状态下，分别统计了两条生产线生产的1000只口罩的耳绳情况，得到的统计数据如下：

    耳绳情况

    合格

    缺失

    错位

    错熔

    漏熔

    甲生产线

    950

    9

    19

    11

    11

    乙生产线

    900

    19

    35

    25

    21

    （1）从乙生产线生产的1000只口罩中随机抽取3只，将合格品的只数记为，求的分布列和数学期望；

    （2）假设口罩的生产成本为0.4元/只，若耳绳发生缺陷时可通过人工修复至合格来挽回损失。耳绳缺失、漏熔时人工修复费为0.01元/只；错位与错熔时需更换耳绳，其中耳绳成本为0.06元/根，人工修复费为0.02元/只．

    ①以修复费的平均数作为判断依据，判断哪一条生产线在每日生产过程中挽回损失时所需费用较少？

    ②若经一次检验就合格的口罩，生产商以1元/只的批发价销售给市场，经人工修复的打八折出售。以该工厂的日平均收入为依据分析该生产商是否有必要更换甲生产线？

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    【题目】已知圆：，：，动圆C与圆，都相切，则动圆C的圆心轨迹E的方程为________________；斜率为的直线l与曲线E仅有三个公共点，依次为P，Q，R，则的值为________.

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    【题目】某高中数学建模兴趣小组的同学为了研究所在地区男高中生的身高与体重的关系，从若干个高中男学生中抽取了1000个样本，得到如下数据.

    数据一：身高在（单位：）的体重频数统计

    体重

    （）

    人数

    20

    60

    100

    100

    80

    20

    10

    10

    数据二：身高所在的区间含样本的个数及部分数据

    身高

    平均体重

    45

    53.6

    60

    75

    （1）依据数据一将上面男高中生身高在（单位：）体重的频率分布直方图补充完整，并利用频率分布直方图估计身高在（单位：）的中学生的平均体重；（保留小数点后一位）

    （2）依据数据一、二，计算身高（取值为区间中点）和体重的相关系数约为0.99，能否用线性回归直线来刻画中学生身高与体重的相关关系，请说明理由；若能，求出该回归直线方程；

    （3）说明残差平方和或相关指数与线性回归模型拟合效果之间关系.（只需写出结论，不需要计算）

    参考公式：，.

    参考数据：（1）；（2）；（3），，；（4）.

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