Question

如图所示，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E是CD的中点，O为AE的中点，以AE为折痕将△ADE向上折起，使D到P点位置，且PC=PB．

（Ⅰ）求证：PO⊥面ABCE；
（Ⅱ）求二面角E-AP-B的余弦值．

Answer 1

分析：（I）由已知中AB=4，AD=2，E是CD的中点，O为AE的中点，D到折起到P点位置，且PC=PB，取BC的中点F，连OF，PF，结合等腰三角形三线合一的性质，我们易得到BC⊥面POF，PO⊥AE，进而根据线面垂直的判定定理得到答案．
（II）以O点为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求出平面EAP和平面BAP的法向量，然后利用向量法易求出二面角E-AP-B的余弦值．

解答：解：（I）PA=PE，OA=OE∴PO⊥AE（1分）
取BC的中点F，连OF，PF，∴OF∥AB，∴OF⊥BC因为
PB=PC∴BC⊥PF，所以BC⊥面POF（3分）
从而BC⊥PO（5分），
又BC与PO相交，可得PO⊥面ABCE（6分）
（II）作OG∥BC交AB于G，∴OG⊥OF如图，建立直角坐标系[O；

OG，

OF

，

OP

]，
A（1，-1，0），B（1，3，0），C（-1，3，0），
P（0，0，

2

）

AC

=(-2，4，0)，

AP

=(-1，1，

2

)，

AB

=(0，4，0)（7分）
设平面PAB的法向量为

n

1=(x，y，z)，

n • AP =-x+y+ 2 z=0 n • AB =4y=0

?

n

1=(

2

，0，1)
同理平面PAE的法向量为

n

2=(1，1，0)，（10分）cos＜E-AP-B＞=

n1•n2

|n1|•|n2|

=

3

3

二面角E-AP-B的余弦值为

3

3

（12分）

点评：本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定，用空间向量求平面间的夹角，二面角的平面角及求法，其中选择恰当的点建立空间坐标系，将空间点线面的夹角转化为向量的夹角是解答本题的关键．