Question

设一次函数f（x）=ax+b，其中a，b为实数，f₁（x）=f（x），f_n+1（x）=f（f_n（x）），n=1，2，3，…，若f₅（x）=32x+31，则f₂₀₀₈（-1）=    ．

Answer 1

【答案】分析：根据题意分别推出f₂（x），f₃（x），f₄（x）及f₅（x）的解析式，又f₅（x）=32x+31，根据两多项式相等时，系数对应相等，即可列出关于a与b的方程，求出方程的解即可得到a与b的值，然后利用函数f_n+1（x）=f（f_n（x））得出函数的取值的规律去求值．
解答：解：因为f（x）=ax+b，f_n+1（x）=f（f_n（x）），所以f₁（x）=f（x）=ax+b，f₂（x）=f（f₁（x））=f（ax+b）=a（ax+b）+b=a²x+ab+b，
f（f₃（x））=f（f₂（x））=a[a（ax+b）+b]+b=a³x+a²b+ab+b，
同理f₄（x）=f（f₃（x））=a⁴x+a³b+a²b+ab+b，
则f₅（x）=f（f₄（x））=a⁵x+a⁴b+a³b+a²b+ab+b=32x+31，
即a⁵=32①，a⁴b+a³b+a²b+ab+b=31②，解得a=2，b=1，
所以f（x）=2x+1，则f₁（-1）=-1，f₂（-1）=-1，…fn（-1）=-1．
所以f₂₀₀₈（-1）=-1．
故答案为：-1．
点评：此题考查使用待定系数法求函数解析式的方法，要求学生会根据一系列等式推出一般性的规律，掌握两多项式相等时满足的条件，是一道运算 量比较大的题目．