Question

（2012•青浦区一模）如图：三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，若底面ABC是边长为2的正三角形，且PB与底面ABC所成的角为

π

3

．若M是BC的中点，求：
（1）三棱锥P-ABC的体积；
（2）异面直线PM与AC所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．

Answer 1

分析：（1）欲求三棱锥P-ABC的体积，只需求出底面积和高即可，因为底面ABC是边长为2的正三角形，所以底面积可用

1

2

a2 ×

3

2

来计算，其中a是正三角形的边长，又因为PA⊥底面ABC，所以三棱锥的高就是PA长，再代入三棱锥的体积公式即可．
（2）欲求异面直线所成角，只需平移两条异面直线中的一条，是它们成为相交直线即可，由M为BC中点，可借助三角形的中位线平行于第三边的性质，做出△ABC的中位线，就可平移BC，把异面直线所成角转化为平面角，再放入△PMN中，求出角即可．

解答：解：（1）因为PA⊥底面ABC，PB与底面ABC所成的角为

π

3

所以 ∠PBA=

π

3

  因为AB=2，所以PA=2

3

VP-ABC=

1

3

S△ABC•PA=

1

3

•

3

4

•4•2

3

=2
（2）连接PM，取AB的中点，记为N，连接MN，则MN∥AC
所以∠PMN为异面直线PM与AC所成的角          
计算可得：PN=

13

，MN=1，PM=

15

cos∠PMN=

1+15-13

2 15

=

15

10

异面直线PM与AC所成的角为arccos

15

10

点评：本题主要考查了在几何体中求异面直线角的能力．解题关键再与找平行线，本题主要通过三角形的中位线找平行线，如果试题的已知中涉及到多个中点，则找中点是出现平行线的关键技巧．