Question

树林的边界是直线l（如图所示），一只兔子在河边喝水时发现了一只狼，兔子和狼分别位于l的垂线AC上的点A点B点处，AB=BC=a（a为正常数），若兔子沿AD方向以速度2μ向树林逃跑，同时狼沿线段BM（M∈AD）方向以速度μ进行追击（μ为正常数），若狼到达M处的时间不多于兔子到达M处的时间，狼就会吃掉兔子．
（1）求兔子被狼吃掉的点的区域面积S（a）；
（2）若兔子要想不被狼吃掉，求θ（θ=∠DAC）的取值范围．

Answer 1

分析：（1）如图建立坐标系xOy，设 A（0，2a），B（0，a），M（x，y），由

BM

μ

≤

AM

2μ

，求得x2+(y-

2a

3

)2≤

4a2

9

．由此求得圆的面积S（a）的值．
（2）设l_AD：y=kx+2a（k≠0），由

|2a- 2a 3 |

1+k2

＞

2a

3

求得斜率k的范围，即可求得θ的范围．

解答：解：（1）如图建立坐标系xOy，设 A（0，2a），B（0，a），M（x，y），
由

BM

μ

≤

AM

2μ

，得x2+(y-

2a

3

)2≤

4a2

9

．所以M在以(0，

2a

3

)为圆心，半径为

2a

3

的圆及其内部．
所以，s(a)=

4a2

9

π．-------（8分）
（2）设l_AD：y=kx+2a（k≠0），由

|2a- 2a 3 |

1+k2

＞

2a

3

⇒k∈(-

3

，0)∪(0，

3

)，
可得 0＜∠ADB＜

π

3

，所以，θ∈(

π

6

，

π

2

)．---------（6分）

点评：本题主要考查圆的标准方程，直线和圆的位置关系，直线的倾斜角和斜率的关系，属于中档题．