Question

某单位准备印制一批书面材料，现有两个印刷厂可供选择，甲厂费用分为制版费和印刷费两部分，乙厂直接按印刷数量收取印刷费．甲厂的印刷费用y（千元）与书面材料数量x（千份）的关系见下表：

书面材料数量x（千份）	0	1	2	3	4	5	6	…
甲厂的印刷费用y（千元）	1	1.5	2	2.5	3	3.5	4	…

乙厂的印刷费用y（千元）与书面材料数量x（千份）的函数关系图象如图所示．
（1）请你直接写出甲厂的：制版费、印刷费用y与x的函数解析式和其书面材料印刷单价，并在图中坐标系中画出甲厂印刷费用y与x的函数图象．
（2）根据图象，试求出当x在什么范围内时乙厂比甲厂的印刷费用低？
（3）现有一客户需要印8千份书面材料，想从甲、乙两厂中选择一家印刷费用低的厂家，
如果甲厂想把8千份书面材料的印制工作承揽下来，在不降低制版费的前提下，每份书面材料最少降低多少元？

Answer 1

分析：（1）观察表格可知，当x=0时，y=1，得出甲厂的制版费为1千元；设y_甲=mx+n，将（0，1），（1，1.5）代入，运用待定系数法即可求出甲厂的印刷费用y_甲与x的函数解析式；由表格可知，每多印1千份书面材料，印刷费用多0.5千元，所以书面材料印刷单价为0.5元；运用两点法可画出甲厂印刷费用y_甲与x的函数图象；
（2）先运用待定系数法分别求出0≤x≤2、x＞2时，y_乙与x的函数解析式，再求出两函数的交点坐标，然后观察图象，y_乙落在y_甲下方的部分对应的x的范围即为所求；
（3）先分别求出x=8时，甲、乙两厂的印刷费用，进而得到甲厂想把8千份书面材料的印制工作承揽下来所需要降低的费用为500元，然后根据甲厂降低的费用不小于500，列出不等式．

解答：解：（1）由表格可知，甲厂的制版费为1千元，y_甲=

1

2

x+1，证书单价为0.5元，图象如图所示：
（2）当0≤x≤2时，设乙厂的印刷费用y（千元）与书面材料数量x（千份）的函数解析式为y_乙=kx，
由已知得2k=3，解得k=1.5，
∴y_乙=1.5x（0≤x≤2）．
当x＞2时，由图象可设y_乙与x的函数关系式为y_乙=k′x+b，
由已知得，

2k′+b=3 6k′+b=4

，解得

k′= 1 4 b= 5 2

，
∴y_乙=

1

4

x+

5

2

（x≥2）．
解方程组

y= 1 2 x+1 y=1.5x

，得

x=1 y=1.5

．
解方程组

y= 1 2 x+1 y= 1 4 x+ 5 2

，得

x=6 y=4

．
∴两函数的交点坐标为（1，1.5）（6，4），
观察图象，可得当0＜x＜1或x＞6时，乙厂比甲厂的印刷费用低；
（3）当x=8时，甲厂的印刷费用：y_甲=

1

2

×8+1=5，乙厂的印刷费用：y_乙=

1

4

×8+

5

2

=4.5，
甲厂比乙厂多花：5-4.5=0.5千元=500元．
如果甲厂想把8千份书面材料的印制工作承揽下来，在不降低制版费的前提下，设甲厂每份书面材料的印刷费用降低a元，
由题意，有8000a≥500，
解得a≥0.0625．
故甲厂每个材料印刷费最少降低0.0625元．

点评：本题主要考查了一次函数及一元一次不等式在实际生活中的应用，涉及到的知识有运用待定系数法求函数的解析式，平面直角坐标系中交点坐标的求法，函数图象的画法等，从图表及图象中获取信息是解题的关键，属于中档题．