Question

3．已知函数f（x）=x³+2ax²+3x+1
（1）若a=-$\sqrt{2}$，求f（x）在区间[0，3]上值域；
（2）若x∈[2，+∞）时，f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，判断函数的单调性，即可得到所求值域；
（2）由题意可得-2a≤x+$\frac{3}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$在[2，+∞）恒成立．令g（x）=x+$\frac{3}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$，求出导数，判断单调性，可得最小值，由恒成立思想可得a的范围．

解答 解：函数f（x）=x³-2$\sqrt{2}$x²+3x+1的导数为：
f′（x）=3x²-4$\sqrt{2}$x+3=3（x-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$）²+$\frac{1}{3}$＞0恒成立，
则f（x）在[0，3]递增，
即有最小值为f（0）=1，最大值为f（3）=37-18$\sqrt{2}$．
则值域为[1，37-18$\sqrt{2}$]；
（2）x∈[2，+∞）时，f（x）≥0恒成立，
即为-2a≤x+$\frac{3}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$在[2，+∞）恒成立．
令g（x）=x+$\frac{3}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$，则g′（x）=1-$\frac{3}{{x}^{2}}$-$\frac{2}{{x}^{3}}$，
即有x≥2时，g′（x）≥1-$\frac{3}{4}$-$\frac{1}{4}$=0，
则g（x）在[2，+∞）递增，即有g（x）的最小值为g（2）=$\frac{15}{4}$，
则-2a≤$\frac{15}{4}$，
解得a≥-$\frac{15}{8}$．

点评 本题考查函数的值域的求法和不等式恒成立问题的解法，同时考查导数的运用：求单调性，属于中档题．