Question

已知圆锥SO中，底面半径r=1，母线长l=4，M为母线SA上的一个点且SM=x，从点M拉一绳子，围绕圆锥侧面转到点A．
（1）求绳子的最短长度的平方f（x）；
（2）求绳子最短时，定点S到绳子的最短距离；
（3）求f（x）的最大值．

Answer 1

分析：（1）算出侧面展开扇形圆心角α=90°，因此将圆锥侧面展开，可得绳子的最短长度为Rt△ASM中斜边AM的长，由此利用勾股定理即可算出f（x）的表达式；
（2）由平面几何性质，可得绳子最短时定点S到绳子的最短距离等于Rt△ASM的斜边上的高，利用三角形面积等积变换求解，可得这个最短距离的表达式；
（3）由于f（x）=x²+16在区间[0，4]上是一个增函数，可得当x=4时，f（x）的最大值等于32．

解答：解：（1）∵底面半径r=1，母线长l=4，
∴侧面展开扇形的圆心角α=

r

l

×360°=90°
因此，将圆锥侧面展开成一个扇形，从点M拉一绳子围绕圆锥侧面转到点A，最短距离为Rt△ASM中，斜边AM的长度
∵SM=x，SA=4
∴f（x）=AM²=x²+4²=x²+16
（2）由（1）可得：绳子最短时，定点S到绳子的最短距离等于Rt△ASM的斜边上的高，设这个距离等于d，
则d=

SM•AS

AM

=

4x

x2+16

；
（3）∵f（x）=x²+16，其中0≤x≤4
∴当x=4时，f（x）的最大值等于32．

点评：本题在圆锥的表面拉一根绳子，求绳子长度的最小值．着重考查了圆锥的侧面展开、勾股定理与三角形面积公式等知识，属于基础题．