Question

（2011•甘肃模拟）已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面边长AB=2BB₁，则异面直线AB₁与BC所成的角的余弦值是（　　）

• A．

  3

  5

• B．

  5

  5

• C．

  2

  3

• D．

  6

  3

Answer 1

分析：由正三棱柱的性质，可得异面直线AB₁与BC所成的角为∠AB₁C₁或其补角，设B₁C₁=2，则 BB₁ =1，△AB₁C₁ 中，由余弦定理可得cos∠AB₁C₁=

5

5

，从而得到异面直线AB₁与BC所成的角的余弦值．

解答：解：正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面边长AB=2BB₁，则异面直线AB₁与BC所成的角为∠AB₁C₁或其补角，
△AB₁C₁ 中，设B₁C₁=2，则 BB₁ =1，AC₁=

AC2+CC12

=

4+1

=

5

=AB₁，
△AB₁C₁ 中，由余弦定理可得 AC₁²=AB₁²+B₁C₁²-2AB₁•B₁C₁cos∠AB₁C₁，
即 5=5+4-2×

5

×2cos∠AB₁C₁，∴cos∠AB₁C₁=

5

5

，
故异面直线AB₁与BC所成的角的余弦值是

5

5

．

点评：本题主要考查正三棱柱的性质，异面直线所成的角的定义和求法，余弦定理的应用，属于中档题．