Question

已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的倍，其上一点到右焦点的最短距离为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若直线l：y=kx+b与圆O：相切，且交椭圆C于A、B两点，求当△AOB的面积最大时直线l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）设椭圆右焦点（c，0），则，由此能够求出椭圆C的标准方程．
（2）由Q_y=kx+b与圆相切，知．由消y得（1+3k²）x²+6kbx+3（b²-1）=0．再由根的判别式和根与系数的关系结合题设条件进行求解．
解答：解：（1）设椭圆右焦点（c，0）
则
由（1）得a²=3b²代a²-b²=c²得c²=2b²
代（2）得∴
∴
（2）Q_y=kx+b与圆相切
∴
∴
由消y得（1+3k²）x²+6kbx+3（b²-1）=0
又△=12（3k²-b²+1）（3）
，
∴|AB|²=（1+k²）（x₁-x₂）²
=
==
=
=
当k=0时，|AB|²=3，
当k≠0时，
（当时“=”成立）
∴|AB|_max=2
∴
此时b²=1且（3）式△＞0
∴
点评：本题考查椭圆方程的求法和三角形面积最大值的计算，解题时要注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．