Question

若存在m∈[1，3]，使得不等式mx²+（m-3）x-3＞0恒成立，则实数x的范围是

x＜-1或x＞3

．

Answer 1

分析：令f（m）=（x²+x）m-3x-3，由题意得f（1）＞0 且f（3）＞0，由此求出实数x的取值范围．

解答：解：令f（m）=mx²+（m-3）x-3=（x²+x）m-3x-3，是关于a的一次函数，由题意得
f（1）=（x²+x）-3x-3＞0，且 f（3）=（x²+x）•3-3x-2＞0．
即x² -2x-3＞0①，且3x²-2＞0 ②． 
解①可得 x＜-1，或 x＞3． 解②可得 x＜-

6

3

或x＞

6

3

．
把①②的解集取交集可得 x＜-1，或x＞3．
故答案为：x＜-1，或x＞3

点评：本题考查函数的恒成立问题，以及函数在闭区间上的值域的求法，一元二次不等式的解法，得到x² -2x-3＞0且3x²-2＞0是解题的关键，属于中档题．