Question

已知x=1是函数g（x）=1-alnx-x的唯一零点，则实数a的取值范围（　　）

A．[0，+∞）

B．[0，+∞）∪{-1}

C．[-1，0]

D．（-∞，-1]

Answer 1

∵x=1是函数g（x）=1-alnx-x的唯一零点，可知函数g（x）在（0，+∞）上具有单调性．
又g′(x)=-

a

x

-1．（x＞0）
①当a≥0时，g′（x）＜0，函数g（x）具有单调性，因此a的值适合；
②当a＜0时，令g′(x)=

-a-x

x

=0，则x=-a．
当0＜x＜-a时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增；当-a＜x时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减法．
∴函数g（x）在x=-a时取得极大值也即最大值，
由题意x=1是函数g（x）=1-alnx-x的唯一零点，必须g（-a）=0，即-a=1，解得a=-1．
综上可知：实数a的取值范围是{-1}∪[0，+∞）．
故选B．