Question

18．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知$\frac{b}{a+c}=1-\frac{sinC}{sinA+sinB}$，且$b=5，\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}=-5$，
（Ⅰ）求△ABC的面积．
（Ⅱ）已知等差数列{a_n}的公差不为零，若a₁cosA=1，且a₂，a₄，a₈成等比数列，求{$\frac{8}{{{a_n}{a_{n+2}}}}$}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由正弦定理得b²+c²-a²=bc，由余弦定理得$A=\frac{π}{3}$，由此能求出△ABC的面积．
（Ⅱ）数列{a_n}的公差为d且d≠0，由a₁cosA=1得a₁=2，由a₂，a₄，a₈成等比数列，得d=2，从而$\frac{8}{{{a_n}{a_{n+2}}}}=\frac{2}{n（n+2）}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}$，由此利用裂项求和法能求出{$\frac{8}{{{a_n}{a_{n+2}}}}$}的前n项和S_n．

解答 （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）∵在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
$\frac{b}{a+c}=1-\frac{sinC}{sinA+sinB}$，且$b=5，\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}=-5$，
∴由正弦定理得：$\frac{b}{a+c}=1-\frac{c}{a+b}$，即：b²+c²-a²=bc，
∴由余弦定理得：$cosA=\frac{{{b^2}+{c^2}-{a^2}}}{2bc}=\frac{bc}{2bc}=\frac{1}{2}$，
又∵0＜A＜π，∴$A=\frac{π}{3}$，…（3分）
∵且$b=5，\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}=-5$，即：5acosC=-5，即：$5a\frac{{{a^2}+{b^2}-{c^2}}}{2ab}=-5$，
与$cos\frac{π}{3}=\frac{{25+{c^2}-{a^2}}}{10c}$联立解得：c=12，…（5分）
∴△ABC的面积是：$\frac{1}{2}×5×12×sinA=15\sqrt{3}$；…（6分）
（Ⅱ）数列{a_n}的公差为d且d≠0，由a₁cosA=1，得a₁=2，
又a₂，a₄，a₈成等比数列，得${a_4}^2={a_2}•{a_8}$，解得d=2…（8分）
∴a_n=2+（n-1）×2=2n，有a_n+2=2（n+2），
则$\frac{8}{{{a_n}{a_{n+2}}}}=\frac{2}{n（n+2）}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}$…（10分）
∴${S_n}=（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{4}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）+…+（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}）+（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$
=$\frac{3}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$．…（12分）

点评 本题考查三角形面积的求法，考查数列前n项和的求法，解题时要认真审题，注意正弦定理、余弦定理、裂项求和法的合理运用．