Question

(本题14分)已知是函数的极值点。

（1）求实数的值；（2）若函数恰有一个零点，求实数的范围；

（3）当时，函数的图象在处的切线与轴的交点是。若，，问是否存在等差数列，使得对一切都成立？若存在，求出数列的通项公式；若不存在，请说明理由。

Answer 1

(Ⅰ)    (Ⅱ)   或（Ⅲ）

解析:

（1）=           2

又x=0是的极值点，                                   4

（2）由（1）知

当时，，函数恰有一个零点               6

当时，，当变化时，与变化情况如下：

				0
	+	0	-	0	+
	单调递增	极大值	单调递减	极小值	单调递增

由上表知函数的极大值为，又     7

由函数的图象变化知，函数恰有一个零点时，的取值范围为或 8

综上所述：当时，   当时，或      9

（3），，

函数的图象在处的切线为，     10

又其切线与轴的交点是，代入上述方程整理得    （1）

，代入（1）式整理得，     11

是等比数列，     12假设存在等差数列，使得对一切都有

      （2）

当时，    （3）

（2）-（3）得         13

又，满足

且，即是等差数列

存在等差数列，使得对一切都有。

     14