Question

已知f(x)=

3

sin4x+(sinx+cosx)2-

3

cos4x
（1）求f（x）的最小值及取最小值时x的集合；
（2）求f（x）在x∈[0，

π

2

]时的值域；
（3）求f（x）在x∈[-

π

2

，

π

2

]时的单调递减区间．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角、辅助角公式化简函数，即可求出f（x）的最小值及取最小值时x的集合；
（2）当x∈[0，

π

2

]时，2x-

π

3

∈[-

π

3

，

2π

3

]，利用正弦函数图象的性质，可求f（x）在x∈[0，

π

2

]时的值域；
（3）求出正弦函数的单调递减区间，即可求f（x）在x∈[-

π

2

，

π

2

]时的单调递减区间．

解答：解：（1）f(x)=

3

sin4x+(sinx+cosx)2-

3

cos4x=

3

(sin2x+cos2x)(sin2x-cos2x)+1+2sinxcosx=-

3

cos2x+sin2x+1
∴f(x)=2sin(2x-

π

3

)+1，
∴f（x）的最小值为-1．
此时，2x-

π

3

=2kπ-

π

2

，即x=kπ-

π

12

，x的集合为{x|x=kπ-

π

12

，k∈Z}，
（2）当x∈[0，

π

2

]时，2x-

π

3

∈[-

π

3

，

2π

3

]，
∴sin(2x-

π

3

)∈[-

3

2

，1]，
∴f(x)∈[-

3

+1，3]，
（3）由2kπ+

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

3π

2

，得kπ+

5π

12

≤x≤kπ+

11π

12

，k∈Z，
∴f（x）在x∈[-

π

2

，

π

2

]时的单调递减区间是[-

π

2

，-

π

12

]，[

5π

12

，

π

2

]．

点评：本题考查三角函数的化简，考查三角函数图象的性质，考查学生的计算能力，正确化简函数是关键．