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    过双曲线C：
    x2
    a2
    -
    y2
    b2
    =1    （a＞0，b＞0）的左焦点F1（-2，0）、右焦点F2（2，0）分别作x轴的垂线，交双曲线的两渐近线于A、B、C、D四点，且四边形ABCD的面积为16
    		3
    ．
    （1）求双曲线C的标准方程；
    （2）设P是双曲线C上一动点，以P为圆心，PF2为半径的圆交射线PF1于M，求点M的轨迹方程．
    分析：（1）由双曲线及其渐近线的对称性知四边形ABCD为矩形，可求四边形ABCD的面积，从而可得双曲线的几何量，从而可得双曲线的标准方程；
    （2）利用双曲线的定义，可得点M的轨迹是在以F1为圆心，半径为2的圆，从而可得轨迹方程．
    解答：解：（1）由
    x=2
    y=
    b
    a
    x
    ，解得y=
    2b
    a
    ，
    由双曲线及其渐近线的对称性知四边形ABCD为矩形，故四边形ABCD的面积为4×
    4b
    a
    =16
    		3

    所以b=
    		3
    a    ，结合c=2且c2=a2+b2得：a=1，b=
    		3
    ，
    所以双曲线C的标准方程为x2-
    y2
    3
    =1    ；
    （2）P是双曲线C上一动点，故|PF1-PF2|=2，
    又M点在射线PF1上，且PM=PF2，
    故F1M=|PF1-PM|=|PF1-PF2|=2，
    所以点M的轨迹是在以F1为圆心，半径为2的圆，
    其轨迹方程为：（x+2）2+y2=4．
    点评：本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的定义，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
    练习册系列答案
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    过双曲线C：
    x2
    a2
    -
    y2
    b2
    =1（a＞0，b＞0）的一个焦点作圆x2+y2=a2的两条切线，切点分别为A、B．若∠AOB=120°（O是坐标原点），则双曲线C的离心率为
     
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    给出下列命题：
    ①已知椭圆
    x2
    16
    +
    y2
    8
    =1    的两个焦点为F1，F2，则这个椭圆上存在六个不同的点M，使得△F1MF2为直角三角形；
    ②已知直线l过抛物线y=2x2的焦点，且与这条抛物线交于A，B两点，则|AB|的最小值为2；
    ③若过双曲线C：
    x2
    a2
    -
    y2
    b2
    =1(a＞0，b＞0)    的一个焦点作它的一条渐近线的垂线，垂足为M，O为坐标原点，则|OM|=a；
    ④已知⊙C1：x2+y2+2x=0，⊙C2：x2+y2+2y-1=0，则这两个圆恰有2条公切线．
    其中正确命题的序号是
     
    ．（把你认为正确命题的序号都填上）

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    过双曲线C：
    x2
    a2
    -
    y2
    b2
    =1    上一点P作一直线交双曲线C渐近线于A，B两点，且满足
    AP
    =λ
    PB
    ，求△AOB的面积．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    过双曲线C：
    x2
    a2
    -
    y2
    b2
    =1    （a＞0，b＞0）的一个焦点F作双曲线C的一条渐近线的垂线，若垂足恰好在线段OF的垂直平分线，则双曲线C的离心率是（　　）

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