Question

（本题满分12分）在△ABC中，三内角A、B、C成等差数列，角B的对边b为1，求证：1＜a+c≤2.

Answer 1

略

证法一：∵2B=A+C，又A+B+C=180°，
∴B=60°，C=120°-A.
由正弦定理得，
再由合分比定理得a+c=（sinA+sinC）=［sinA+sin（120°-A）］=2sin（A+30°）≤2，
再由两边之和大于第三边，∴1＜a+c.
∴1＜a+c≤2.
证法二：先得B=60°（同上得）.
再利用余弦定理知cosB=，即，
即（a+c）²-1=3ac≤.
解得a+c≤2.
又∵a+c＞1，∴1＜a+c≤2.