Question

（2013•济南二模）某企业计划投资A，B两个项目，根据市场分析，A，B两个项目的利润率分别为随机变量X₁和X₂，X₁和X₂的分布列分别为：

X1	5%	10%
P	0.8	0.2

X2	2%	8%	12%
P	0.2	0.5	0.3

（1）若在A，B两个项目上各投资1000万元，Y₁和Y₂分别表示投资项目A和B所获得的利润，求利润的期望E（Y₁），E（Y₂）和方差D（Y₁），D（Y₂）；
（2）由于资金限制，企业只能将x（0≤x≤1000）万元投资A项目，1000-x万元投资B项目，f（x）表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和．求f（x）的最小值，并指出x为何值时，f（x）取到最小值．

Answer 1

分析：（1）Y₁和Y₂分别表示投资项目A和B所获得的利润，根据两个投资项目的利润率分别为随机变量X₁和X₂的分布列，可以得到Y₁和Y₂的分布列，得到分布列，余下的问题只是运算问题，分别求出变量的期望和方差．
（2）由题意知f（x）表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和，写出用x表示的方差的解析式，结合二次函数的最值问题，得到结果．

解答：解：（1）由题设可知Y₁和Y₂的分布列为

Y1	50	100
P	0.8	0.2

Y2	20	80	120
P	0.2	0.5	0.3

--------------（2分）
E（Y₁）=50×0.8+100×0.2=60，----------------------------------（3分）
D（Y₁）=（50-60）²×0.8+（100-60）²×0.2=400，------------------------（4分）
E（Y₂）=20×0.2+80×0.5+120×0.3=80，---------------------------------------（5分）
D（Y₂）=（20-80）²×0.2+（80-80）²×0.5+（120-80）²×0.3=1200．-------------------（6分）
（2）f(x)=D(

x

1000

Y1)+D(

1000-x

1000

Y2)=

1

106

[x2D(Y1)+(1000-x)2D(Y2)]
=

4

104

[x²+3（1000-x）²]=

4

104

（4x²-6000x+3×10⁶）．--------------------------------（10分）
当x=

6000

2×4

=750时，f（x）=300为最小值．-------------------------------（12分）

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和期望，这种类型是近几年高考题中经常出现的，考查离散型随机变量的分布列和期望，大型考试中理科考试必出的一道问题．