Question

10．如图，四棱锥S-ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等腰直角三角形．SA=SB=2，AB=2DC，SD=1，BC=$\sqrt{3}$．
（1）证明：SD⊥平面SAB．
（2）求四棱锥S-ABCD的表面积．

Answer 1

分析 （1）取AB中点O，连结SO、DO，推导出AB⊥平面SDO，从而AB⊥SD，再求出AS⊥SD，由此能证明SD⊥平面SAB．
（2）四棱锥S-ABCD的表面积S=S_梯形ABCD+S_△ADS+S_△SDC+S_△SBC+S_△SAB，由此能求出结果．

解答 证明：（1）取AB中点O，连结SO、DO，
∵AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等腰直角三角形．
SA=SB=2，AB=2DC，SD=1，BC=$\sqrt{3}$，
∴SO⊥AB，DO⊥AB，AB=$\sqrt{4+4}$=2$\sqrt{2}$，
∵SO∩DO=O，∴AB⊥平面SDO，
∵SD?平面SDO，∴AB⊥SD，
∴AO=BO=CD=$\sqrt{2}$，AD=BD=$\sqrt{2+3}$=$\sqrt{5}$，
∴AS²+SD²=AD²，∴AS⊥SD，
∵AB∩AS=A，∴SD⊥平面SAB．
解：（2）四棱锥S-ABCD的表面积：
S=S_梯形ABCD+S_△ADS+S_△SDC+S_△SBC+S_△SAB
=$\frac{1}{2}（\sqrt{2}+2\sqrt{2}）×\sqrt{3}$+$\frac{1}{2}×2×1$+$\frac{1}{2}×1×\sqrt{2}$+$\frac{1}{2}×2×\sqrt{3-1}$+$\frac{1}{2}×2×2$
=$\frac{3\sqrt{6}+6+3\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查四棱锥的表面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．