Question

过点P（1，2）的直线l被两平行线l₁：4x+3y+1=0与l₂：4x+3y+6=0截得的线段长|AB|=

2

，求直线l的方程．

Answer 1

分析：根据题意，先验证直线l的斜率不存在时，不满足|AB|=

2

．然后设直线l的方程为y-2=k（x-1），分别求出A、B含有字母k的坐标，用两点的距离公式列出关于k的方程，解之即可得到直线的斜率k值，从而得到直线l的方程．

解答：解：当直线l的斜率不存在时，方程为x=1，经验证|AB|=

5

3

，不符合题意
故可设直线l的方程为y-2=k（x-1），与l₁：4x+3y+1=0联解，得A（

3k-7

3k+4

，

-5k+8

3k+4

）
同理，可得直线l与l₂：4x+3y+6=0交于点B（

3k-12

3k+4

，

8-10k

3k+4

）
∵|AB|=

2

，
∴

( 3k-7 3k+4 - 3k-12 3k+4 )2+( -5k+8 3k+4 - 8-10k 3k+4 )2

=

2

，
整理得7k²-48k-7=0，解之得k=7或-

1

7

∴直线l的方程为y-2=7（x-1）或y-2=-

1

7

（x-1），
化简整理得，所求直线l的方程为7x-y-5=0或x+7y-15=0．

点评：本题给出动直线被平行直线截得的弦长，求直线的方程，着重考查了直线方程的基本形式、直线与直线的位置关系等知识，属于基础题．