Question

已知函数f（x）=

6cos4x+5sin2x-4

cos2x

．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）的奇偶性；
（3）求函数f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）分式函数求定义域，即使分母不为零，建立不等式，可结合图象求解
（2）直接应用函数奇偶性的定义进行判定，判定时需要先求定义域
（3）先对函数关系式进行化简，6cos⁴x+5sin²x-4可因式分解成（2cos²x-1）（3cos²x-1）与分母约分后可转化成关于cosx的二次函数求值域

解答：解：（1）由cos2x≠0得2x≠kπ+

π

2

，k∈Z（2分）
解得x≠

kπ

2

+

π

4

，k∈Z
所以f（x）的定义域为{x|x∈R，且x≠

kπ

2

+

π

4

，k∈Z}（4分）
（2）因为f（x）的定义域关于原点对称，且f(-x)=

6cos4(-x)+5sin2(-x)-4

cos2(-x)

=

6cos4+5sin2x-4

cos2x

=f(x)，
所以f（x）是偶函数．（7分）
（3）当x≠

kπ

2

+

π

4

，k∈Z，cosx≠±

2

2

，
即cos2x≠

1

2

（8分）
f(x)=

6cos4x+5sin2x-4

cos2x

=

6cos4x+5(1-cos2x)-4

cos2x

=

(2cos2x-1)(3cos2x-1)

cos2x

=3cos2x-1（10分）
当cos²x=1时，f（x）取最大值2；
当cos²x=0时，f（x）的最小值-1∴函数f（x）的最大值2最小值-1

点评：本题考查了函数的定义域、奇偶性以及函数的值域．