Question

14．已知数列{a_n}中，a₁=$\frac{3}{5}$，a_na_n-1+1=2a_n-1（n≥2，n∈N^*），数列{b_n}满足${b_n}=\frac{1}{{{a_n}-1}}$（n∈N^*）
（1）求证数列{b_n}是等差数列；
（2）求数列{a_n}中的最大项与最小项，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）通过b_n+1-b_n=$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n}-1}$、利用a_na_n-1+1=2a_n-1代入化简即得结论；
（2）通过（1）可知b_n=n-$\frac{7}{2}$，进而a_n=1+$\frac{2}{2n-7}$，计算即得结论．

解答 （1）证明：依题意，b_n+1-b_n=$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n}-1}$
=$\frac{{（a}_{n}-1）-（{a}_{n+1}-1）}{（{a}_{n+1}-1）（{a}_{n}-1）}$
=$\frac{{a}_{n}-{a}_{n+1}}{{a}_{n}{a}_{n+1}-{a}_{n}-{a}_{n+1}+1}$
=$\frac{{a}_{n}-{a}_{n+1}}{2{a}_{n}-{1-a}_{n}-{a}_{n+1}+1}$
=$\frac{{a}_{n}-{a}_{n+1}}{{a}_{n}-{a}_{n+1}}$
=1，
又∵b₁=$\frac{1}{{a}_{1}-1}$=-$\frac{5}{2}$，
∴数列{b_n}是以-$\frac{5}{2}$为首项、1为公差的等差数列；
（2）解：由（1）可知b_n=-$\frac{5}{2}$+（n-1）•1=n-$\frac{7}{2}$，
∴a_n=1+$\frac{1}{{b}_{n}}$=1+$\frac{1}{n-\frac{7}{2}}$=1+$\frac{2}{2n-7}$，
显然当n=4时1+$\frac{2}{2n-7}$取最大值3，当n=3时1+$\frac{2}{2n-7}$取最小值-1，
∴数列{a_n}中的最大项为a₄=3，最小项为a₃-1．

点评 本题考查等差数列的判定，考查数列的通项，注意解题方法的积累，属于中档题．