Question

若在抛物线y=x²上存在两点关于直线y=kx+1对称，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：设出两点B、C两点坐标，得到直线BC方程x=-ky+m，把直线BC方程与抛物线方程联立，化为一元二次方程，由韦达定理求出BC中点，应用中点在对称轴上，且判别式大于0，可求出k的取值范围．

解答：解：设两点B、C关于直线y=kx+1对称，故可设直线BC方程为y=-

1

k

x+m，代入y=x²，得 x²+

1

k

x-m=0．
设B（x₁，y₁）、C（x₂，y₂），则 BC中点M（x₀，y₀），则x₀=

x1+x2

2

=-

1

2k

，y₀=

1

2k2

+m．
∵点M（x₀，y₀）在直线y=kx+1上，
∴

1

2k2

+m=k（-

1

2k

）+1，
∴m=

1

2

-

1

2k2

．
又∵BC与抛物线交于不同两点，∴△=

1

k2

+4m＞0．
把m代入得

1

k2

+4（

1

2

-

1

2k2

）＞0化简得

1

k2

＜2，解得k＜-

2

2

或k＞

2

2

．

点评：本题考查点关于线的对称问题，两条直线垂直的性质，中点公式的应用，属于中档题．