Question

已知抛物线C以原点O为顶点，其准线方程为x=-1，焦点为F．
①求抛物线C的标准方程；
②过点P（-1，0）的直线l与抛物线C相交于A、B两点．
（ⅰ）证明：

OA

•

OB

为定值；
（ⅱ）点A关于x轴的对称点为D，证明：点F在直线BD上．

Answer 1

分析：①利用抛物线的定义及其性质即可得出；
②（i）把直线l的方程与椭圆的方程联立，利用根与系数的关系及数量积即可得出；
（ii）利用（i）的结论及向量共线的充要条件即可证明．

解答：解：①∵抛物线C以原点O为顶点，其准线方程为x=-1，∴

p

2

=1，∴焦点F（1，0）．
∴抛物线C的标准方程为y²=4x．（x≥0）．
②（i）如图所示：可设直线l的方程为my=x+1，交点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立

my=x+1 y2=4x

消去x得y²-4my+4=0，
∵直线l与抛物线由两个交点，∴△=16m²-16＞0，∴m²＞1．（*）
∴y₁+y₂=4m，y₁y₂=4．
又∵x=my-1，∴x₁x₂=（my₁-1）（my₂-1）=m²y₁y₂-m（y₁+y₂）+1．
∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=（m²+1）y₁y₂-m（y₁+y₂）+1=4（m²+1）-4m²+1=5为定值．
（ii）证明：∵点A关于x轴的对称点为D，∴D（x₁，-y₁）．
∴

FB

=（x₂-1，y₂），

FD

=（x₁-1，-y₁），
∵y₂（x₁-1）+y₁（x₂-1）=y₂（my₁-2）+y₁（my₂-2）
=2my₁y₂-2（y₁+y₂）
=8m-8m=0．
∴存在实数λ，使得

FB

=λ

FD

，即三点B、F、D共线．

点评：熟练掌握抛物线的定义及其性质、直线与椭圆相交问题的解法、根与系数的关系、数量积的计算公式、向量共线的充要条件是解题的关键．