Question

如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，且，为中点.

（Ⅰ）求证：平面；   　

（Ⅱ）求二面角的大小；

（Ⅲ）在线段上是否存在点，使得点到平

面的距离为？若存在，确定点的位置；

若不存在，请说明理由.

 

Answer 1

【答案】

解法一：

（Ⅰ）证明：∵底面为正方形，

∴，又，

∴平面，

∴.                                                   2分

同理，                                               4分

∴平面．          

5分

（Ⅱ）解：设为中点，连结，

又为中点，

可得，从而底面．

过 作的垂线，垂足为,连结．

由三垂线定理有，

∴为二面角的平面角.                        7分

在中，可求得   

∴．                               9分

∴ 二面角的大小为．               10分

（Ⅲ）解：由为中点可知,

要使得点到平面的距离为，

即要点到平面的距离为.

过 作的垂线，垂足为,

∵平面，

∴平面平面，

∴平面，

即为点到平面的距离.

∴，

∴．                                        12分

设，

由与相似可得

，

∴，即．

∴在线段上存在点，且为中点，使得点到平面的距离为．

14分

解法二：

（Ⅰ）证明：同解法一．

（Ⅱ）解：建立如图的空间直角坐标系，                6分

则.         

设为平面的一个法向量，

则，．

又

 

令则

得．               8分

又是平面的一个法向量，

9分

设二面角的大小为 ，

则．

∴ 二面角的大小为．                    10分

（Ⅲ）解：设为平面的一个法向量，

则，．

又，

 

令则

得．                                         12分

又

∴点到平面的距离，

∴，

解得，即 .

∴在线段上存在点，使得点到平面的距离为，且为中点．14分

【解析】

试题分析：解法一：

（Ⅰ）证明：∵底面为正方形，

∴，又，

∴平面，

∴.                                                   2分

同理，                                               4分

∴平面．          

5分

（Ⅱ）解：设为中点，连结，

又为中点，

可得，从而底面．

过 作的垂线，垂足为,连结．

由三垂线定理有，

∴为二面角的平面角.                        7分

在中，可求得   

∴．                               9分

∴ 二面角的大小为．               10分

（Ⅲ）解：由为中点可知,

要使得点到平面的距离为，

即要点到平面的距离为.

过 作的垂线，垂足为,

∵平面，

∴平面平面，

∴平面，

即为点到平面的距离.

∴，

∴．                                        12分

设，

由与相似可得

，

∴，即．

∴在线段上存在点，且为中点，使得点到平面的距离为．14分

解法二：

（Ⅰ）证明：同解法一．

（Ⅱ）解：建立如图的空间直角坐标系，                6分

则.         

设为平面的一个法向量，

则，．

又

 

令则

得．               8分

又是平面的一个法向量，

9分

设二面角的大小为 ，

则．

∴ 二面角的大小为．                    10分

（Ⅲ）解：设为平面的一个法向量，

则，．

又，

 

令则

得．                                         12分

又

∴点到平面的距离，

∴，

解得，即 .

∴在线段上存在点，使得点到平面的距离为，且为中点．14分

考点：本题主要考查立体几何中的平行关系、垂直关系，角的计算。

点评：典型题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、体积的计算。在计算问题中，有“几何法”和“向量法”。利用几何法，要遵循“一作、二证、三计算”的步骤，若利用向量则可简化证明过程。本题解法较多，相互比较，可见其优劣。