Question

已知椭圆

x2

9

+y2=1，过左焦点F₁倾斜角为

π

6

的直线交椭圆于A、B两点．求弦AB的长

2

．

Answer 1

分析：求出椭圆的左焦点F₁（-2

2

，0），根据点斜率式方程设AB：y=

3

3

（x+2

2

），与椭圆方程消去y得4x²+12

2

x+15=0，利用根与系数的关系算出A、B的横坐标满足|x₁-x₂|=

3

，最后根据弦长公式即可算出弦AB的长．

解答：解：∵椭圆方程为

x2

9

+y2=1，
∴焦点分别为F₁（-2

2

，0），F₂（2

2

，0），
∵直线AB过左焦点F₁倾斜角为

π

6

∴直线AB的方程为y=

3

3

（x+2

2

），
将AB方程与椭圆方程消去y，得4x²+12

2

x+15=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），可得
x₁+x₂=-3

2

，x₁x₂=

15

4

∴|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

3

因此，|AB|=

1+( 3 3 )2

•|x₁-x₂|=

4 3

•

3

=2
故答案为：2

点评：本题给出椭圆经过左焦点且倾角为30度的弦AB，求弦长．着重考查了椭圆的标准方程与简单几何性质、直线与椭圆的位置关系等知识，属于中档题．