Question

15、若函数f（x，y，z）满足f（a，b，c）=f（b，c，a）=f（c，a，b），则称函数f（x，y，z）为轮换对称函数，如f（a，b，c）=abc是轮换对称函数，下面命题正确的是

①②③④

．
①函数f（x，y，z）=x²-y²+z不是轮换对称函数．
②函数f（x，y，z）=x²（y-z）+y²（z-x）+z²（x-y）是轮换对称函数．
③若函数f（x，y，z）和函数g（x，y，z）都是轮换对称函数，则函数f（x，y，z）-g（x，y，z）也是轮换对称函数．
④若A、B、C是△ABC的三个内角，则f（A，B，C）=2+cosC•cos（A-B）-cos²C为轮换对称函数．

Answer 1

分析：首先理解轮换对称函数的定义，然后根据函数f（x，y，z）是否满足f（a，b，c）=f（b，c，a）=f（c，a，b），对于①代入运算可知f（x，y，z）≠f（y，z，x）故不是轮换对称函数，对于②f（x，y，z）=f（y，z，x）=f（z，x，y），满足条件，是轮换对称函数，对于③f（x，y，z）-g（x，y，z）=f（y，z，x）-g（y，z，x）=f（z，x，y）-g（z，x，y），也满足定义，是轮换对称函数，对于④进行化简整理可知f（A，B，C）=f（B，C，A）=f（C，A，B），满足定义，故为轮换对称函数，从而得到正确的命题．

解答：解：①函数f（x，y，z）=x²-y²+z，则f（y，z，x）=y²-z²+x，f（x，y，z）≠f（y，z，x）故不是轮换对称函数，故正确；
②函数f（x，y，z）=x²（y-z）+y²（z-x）+z²（x-y），f（y，z，x）=y²（z-x）+z²（x-y）+x²（y-z），满足f（x，y，z）=f（y，z，x）=f（z，x，y），是轮换对称函数．故正确；
③若函数f（x，y，z）和函数g（x，y，z）都是轮换对称函数，则f（x，y，z）=f（y，z，x）=f（z，x，y），g（x，y，z）=g（y，z，x）=g（z，x，y），从而函数f（x，y，z）-g（x，y，z）=f（y，z，x）-g（y，z，x）=f（z，x，y）-g（z，x，y），满足定义，故也是轮换对称函数．故正确；
④若A、B、C是△ABC的三个内角，则f（A，B，C）=2+cosC•cos（A-B）-cos²C，f（B，C，A）=2+cosB•cos（B-C）-cos²A，f（C，A，B）=2+cosB•cos（C-A）-cos²B，f（A，B，C）=f（B，C，A）=f（C，A，B）为轮换对称函数，故正确．
故答案为：①②③④．

点评：本题考查对新概念的阅读理解能力，以及三角函数化简与运算能力，分析问题的能力，属于创新题．