Question

如图,三棱锥D—ABC中,△ABC是边长为4的正三角形,AD=3,E为AB的中点,AD⊥平面ABC.

(1)求证:平面CDE⊥平面ABD;

(2)求直线AD和平面CDE所成的角的大小;

(3)求点A到平面BCD的距离.

Answer 1

(1)证明:∵AD⊥平面ABC,CE平面ABC,

∴AD⊥CE.

又∵△ABC为正三角形,E为AB的中点,

∴CE⊥AB.而AB∩AD=A,

∴CE⊥平面ABD.

又CE平面CDE,∴平面CDE⊥平面ABD.

(2)解:由(1)得平面CDE⊥平面ABD,

∴AD在平面CDE上的射影在DE上.

∴∠ADE即为所成的角.

△ADE为直角三角形,且AE=2,AD=3,

∴tan∠ADE=.

∴∠ADE=arctan,

即直线AD与平面CDE所成的角为arctan.

(3)解:设点A到平面BCD的距离为h,

则有V==V_A—BCD,即×S_△ABC×AD=×S_△BCD×h.

又∵S_△ABC=4,AD=3,S_△BCD=2.

解得h=.