已知函数.
(Ⅰ)讨论函数在定义域内的极值点的个数;
(Ⅱ)若函数在
处取得极值,且对
,
恒成立,
求实数的取值范围;
(Ⅲ)当且
时,试比较
的大小。
(Ⅰ)当时
在
上没有极值点,当
时,
在
上有一个极小值点.
(Ⅱ).
(Ⅲ)当时,
∴
,
当时,
∴
【解析】
试题分析:(Ⅰ)因为函数的定义域为
且
,
故①当时,
在
上恒成立,函数
在
单调递减,此时
在
上没有极值点;
②当时,由
得
,由
得
,由
得
,
∴在
上递减,在
上递增,此时
在
处有极小值.
综上,当时
在
上没有极值点,当
时,
在
上有一个极小值点.
4分
(Ⅱ)∵函数在
处取得极值,∴
,
∴, 6分
令,可得
在
上递减,在
上递增,
∴,即
. 9分
(Ⅲ)解:令, 10分
由(Ⅱ)可知在
上单调递减,则
在
上单调递减
∴当时,
>
,即
. 11分
当时,
∴
,
当时,
∴
14分
考点:本题主要考查导数的应用,求函数的单调区间、极值、证明不等式。
点评:典型题,在研究函数单调区间、求极值过程中,基本方法步骤是:求导数、求驻点、解不等式、定导数符号,确定函数的单调区间及极值。利用导数证明不等式,应首先构造函数,研究函数的单调性,确定函数与最值的关系。
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com