Question

9．设椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，上顶点为A，过点A与AF₂垂直的直线交x轴负半轴于点Q，且$2\overrightarrow{{F_1}{F_2}}+\overrightarrow{{F_2}Q}$=$\overrightarrow 0$．
（Ⅰ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）若过A，Q，F₂三点的圆恰好与直线$\sqrt{7}$x-y+$\sqrt{7}$+$4\sqrt{2}$=0相切，求椭圆C的方程；
（Ⅲ）过F₂的直线L与（Ⅱ）中椭圆C交于不同的两点M、N，则△F₁MN的内切圆的面积是否存    在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可知：$\overrightarrow{AQ}$=（-3c，-b），$\overrightarrow{A{F_2}}$=（c，-b），由$\overrightarrow{AQ}$⊥$\overrightarrow{A{F_2}}$，即$\overrightarrow{AQ}$•$\overrightarrow{A{F_2}}$=-3c²+b²=0，a²=4c²，e=$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$；
（Ⅱ）由$\frac{{|{-\sqrt{7}c+\sqrt{7}+4\sqrt{2}}|}}{{\sqrt{7+1}}}$=2c，解得c=1则a=2，b=$\sqrt{3}$，即可求得椭圆的标准方程；
（Ⅲ）由要使△F₁MN内切圆的面积最大，只需R最大，此时${S_△}_{F_1}{\;}_{MN}$也最大，设直线l的方程为x=my+1，代入椭圆方程，由韦达定理，弦长公式及三角形的面积公式可知${S_△}_{F_1}{\;}_{MN}$=|y₁-y₂|=$\frac{{12\sqrt{{m^2}+1}}}{{3{m^2}+4}}$，t=$\sqrt{{m^2}+1}$，则t≥1，${S_△}_{F_1}{\;}_{MN}$=$\frac{12t}{{3{t^2}+1}}=\frac{12}{{3t+\frac{1}{t}}}$（t≥1），由函数的单调性可知：当t=1时，${S_△}_{F_1}{\;}_{MN}$=4R有最大值3，即可求得m的值，求得直线方程．

解答 解：（Ⅰ）依题意A（0，b），F₁为QF₂的中点．
设F₁（-c，0），F₂（c，0），则Q（-3c，0），$\overrightarrow{AQ}$=（-3c，-b），$\overrightarrow{A{F_2}}$=（c，-b），
由$\overrightarrow{AQ}$⊥$\overrightarrow{A{F_2}}$，即$\overrightarrow{AQ}$•$\overrightarrow{A{F_2}}$=-3c²+b²=0，∴-3c²+（a²-c²）=0，
即a²=4c²，
∴e=$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$．（3分）
（Ⅱ）由题Rt△QAF₂外接圆圆心为斜边QF₂的中点，
F₁（-c，0），半径r=2c，
∵由题Rt△QAF₂外接圆与直线$\sqrt{7}x-y$+$\sqrt{7}$+$4\sqrt{2}$=0相切，
∴d=r，即$\frac{{|{-\sqrt{7}c+\sqrt{7}+4\sqrt{2}}|}}{{\sqrt{7+1}}}$=2c，解得c=1．
∴a=2，c=1，b=$\sqrt{3}$．
所求椭圆C的方程为：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$（6分）
（Ⅲ）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）由题知y₁，y₂异号，
设△F₁MN的内切圆的半径为R，则△F₁MN的周长为4a=8，
∴${S_△}_{F_1}{\;}_{MN}$=$\frac{1}{2}$（|MN|+|F₁M|+|F₁N|）R=4R，
∴要使△F₁MN内切圆的面积最大，只需R最大，此时${S_△}_{F_1}{\;}_{MN}$也最大．（8分）
${S_△}_{F_1}{\;}_{MN}$=$\frac{1}{2}$|F₁F₂|．|y₁-y₂|=|y₁-y₂|，
由题知，直线l的斜率不为零，可设直线l的方程为x=my+1，
由$\left\{\begin{array}{l}x=my+1\\ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1.\end{array}\right.$，得（3m²+4）y²+6my-9=0，
由韦达定理，得y₁+y₂=$\frac{-6m}{{3{m^2}+4}}$，y₁y₂=$\frac{-9}{{3{m^2}+4}}$，（△＞0⇒m∈R）
${S_△}_{F_1}{\;}_{MN}$=|y₁-y₂|=$\sqrt{{{（y{\;}_1+{y_2}）}^2}-4{y_1}{y_2}}$=$\frac{{12\sqrt{{m^2}+1}}}{{3{m^2}+4}}$．
令t=$\sqrt{{m^2}+1}$，则t≥1，${S_△}_{F_1}{\;}_{MN}$=$\frac{12t}{{3{t^2}+1}}=\frac{12}{{3t+\frac{1}{t}}}$（t≥1），
当t=1时，${S_△}_{F_1}{\;}_{MN}$=4R有最大值3．
此时，m=0，R_max=$\frac{3}{4}$．
故△F₁MN的内切圆的面积最大值为$\frac{9π}{16，}$
此时直线l的方程为x=1．（12分）

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，韦达定理，弦长公式及三角形的面积公式，考查椭圆与函数的单调性及最值综合应用，考查计算能力，属于中档题．