Question

给定有限单调递增数列{x_n}（n∈N^*，n≥2）且x_i≠0（1≤i≤n），定义集合A={（x_i，x_j）|1≤i，j≤n，且i，j∈N^*}．若对任意点A₁∈A，存在点A₂∈A使得OA₁⊥OA₂（O为坐标原点），则称数列{x_n}具有性质P．
（I）判断数列{x_n}：-2，2和数列{y_n}：-2，-l，1，3是否具有性质P，简述理由．
（II）若数列{x_n}具有性质P，求证：
①数列{x_n}中一定存在两项x_i，x_j使得x_i+x_j=0：
②若x₁=-1，x_n＞0且x_n＞1，则x₂=l．

Answer 1

（Ⅰ）数列{x_n}具有性质P，数列{y_n}不具有性质P．
对于数列{x_n}，若A₁（-2，2），则A₂（2，2）；若A₁（-2，-2），则A₂（2，-2），∴具有性质P；
对于数列{y_n}，当A₁（-2，3），若存在A₂（x，y）满足OA₁⊥OA₂，即-2x+3y=0，

y

x

=

2

3

，数列{y_n}中不存在这样的数x、y，
∴不具有性质P．
（II）证明：①取A₁（x_k，x_k），∵数列{x_n}具有性质P，∴存在点A₂（x_i，x_j）使得OA₁⊥OA₂，即x_kx_i+x_kx_j=0，
∵x_k≠0，∴x_i+x_j=0．
②由①知，数列{x_n}中一定存在两项x_i，x_j，使得x_i+x_j=0．
又数列是单调递增数列且x₂＞0，∴1为数列中的一项，
假设x₂≠1，则存在k（2＜k＜n，k∈N^*），有x_k=1，∴0＜x₂＜1，
 此时取A₁（x₂，x_n），数列{x_n}具有性质P，
∴存在点A₂（x_t，x_s）使得OA₁⊥OA₂，
∴x₂x_t+x_nx_s=0
所以x_t=-1时，x₂=x_nx_s＞x_s≥x₂，矛盾；x_s=-1时，x2=

xn

xt

≥1，矛盾，所以x₂=1．