Question

设二次函数f(x)=(k-4)x2+kx

&(k∈R)

，对任意实数x，有f（x）≤6x+2恒成立；数列{a_n}满足a_n+1=f（a_n）．
（1）求函数f（x）的解析式和值域；
（2）试写出一个区间（a，b），使得当a₁∈（a，b）时，数列{a_n}在这个区间上是递增数列，并说明理由；
（3）已知，是否存在非零整数λ，使得对任意n∈N^*，都有log3(

1

1 2 -a1

)+log3(

1

1 2 -a2

)+…+log3(

1

1 2 -an

)＞(-1)n-12λ+nlog32-1-1+（-1）^n-12λ+nlog₃2恒成立，若存在，求之；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）欲使对任意实数x，有f（x）≤6x+2恒成立及使（k-4）x²+（k-6）x-2≤0恒成立，建立不等关系可求出k的值，从而求出函数的值域；
（2）若数列{a_n}在某个区间上是递增数列，则a_n+1-a_n＞0，则a_n+1-a_n=f（a_n）-a_n＞0?an∈(0，

1

2

)，又当an∈(0，

1

2

)，n≥1时an+1=f(an)=-2

a

2 n

+2an=-2(an-

1

2

)2+

1

2

∈(0，

1

2

)，所以对一切n∈N^*，均有an∈(0，

1

2

)，且a_n+1-a_n＞0；所以数列a_n在区间(0，

1

2

)上是递增数列；
（3）令bn=

1

2

-an，可证得数列{lgb_n+lg2}是lgb1+lg2=lg

1

3

为首项，公比为2的等比数列，即2ⁿ+nlog₃2-12ⁿ+（log₃2）n-1＞（-1）^n-12λ+nlog₃²-1nlog₃2-1，所以，2^n-1＞（-1）^n-1λ恒成立，当n为奇数时，即λ＜2^n-1恒成立，当且仅当n=1时，2^n-1有最小值为1．则λ＜1，当n为偶数时，即λ＞-2^n-1恒成立，当且仅当n=2时，有最大值为-2，则λ＞-2，从而对任意n∈N^*，有-2＜λ＜1．又λ非零整数求出λ的值．

解答：解：（1）由f（x）≤6x+2恒成立，即（k-4）x²+（k-6）x-2≤0恒成立，从而得：

k-4＜0 (k-6)2+8(k-4)≤0

，
化简得

k＜4 (k-2)2≤0

，从而得k=2，所以f（x）=-2x²+2x，其值域为(-∞，

1

2

]．
（2）当a1∈(0，

1

2

)时，数列a_n在这个区间上是递增数列，证明如下：
若数列{a_n}在某个区间上是递增数列，则a_n+1-a_n＞0；
即a_n+1-a_n=f（a_n）-a_n=-2a_n²+2a_n-a_n=-2a_n²+a_n＞0?an∈(0，

1

2

)；
an∈(0，

1

2

)，n≥1时，an+1=f(an)=-2

a

2 n

+2an=-2(an-

1

2

)2+

1

2

∈(0，

1

2

)，
所以对一切n∈N^*，均有an∈(0，

1

2

)，且a_n+1-a_n＞0；所以数列a_n在区间(0，

1

2

)上是递增数列．
（3）由（2）知，an∈(0，

1

2

)，从而

1

2

-an∈(0，

1

2

)；
当n≥1时，

1

2

-an+1=

1

2

-(-2

a

2 n

+2an)=2

a

2 n

-2an+

1

2

=2(an-

1

2

)2，即

1

2

-an+1=2(

1

2

-an)2；
令bn=

1

2

-an，则有b_n+1=2b_n²，且bn∈(0，

1

2

)；从而有lgb_n+1=2lgb_n+lg2，即lgb_n+1+lg2=2（lgb_n+lg2）；
所以数列{lgb_n+lg2}是lgb1+lg2=lg

1

3

为首项，公比为2的等比数列；
从而得lgbn+lg2=lg

1

3

•2n-1=lg(

1

3

)2n-1，即lgbn=lg

( 1 3 )2n-1

2

，所以bn=

( 1 3 )2n-1

2

=

1

2

(

1

3

)2n-1，
所以

1

1 2 -an

=

1

bn

=2•32n-1，所以log3(

1

1 2 -an

)=log3(2•32n-1)=log32+2n-1，
所以，log3(

1

1 2 -a1

)+log3(

1

1 2 -a2

)++log3(

1

1 2 -an

)=nlog32+

1-2n

1-2

=2n+nlog32-1．
即2ⁿ+nlog₃2-12ⁿ+（log₃2）n-1＞（-1）^n-12λ+nlog₃²-1nlog₃2-1，所以，2^n-1＞（-1）^n-1λ恒成立
当n为奇数时，即λ＜2^n-1恒成立，当且仅当n=1时，2^n-1有最小值为1．∴λ＜1
当n为偶数时，即λ＞-2^n-1恒成立，当且仅当n=2时，有最大值为-2．∴λ＞-2
所以，对任意n∈N^*，有-2＜λ＜1．又λ非零整数，∴λ=-1．

点评：本题主要考查了数列与函数的综合应用，以及数列与不等式的综合应用，同时考查了计算能力、推理能力，有一定的难度，属于难题．