Question

正四面体A-BCD的棱长为1，（Ⅰ）如图（1）M为CD中点，求异面直线AM与BC所成的角；（Ⅱ）将正四面体沿AB、BD、DC、BC剪开，作为正四棱锥的侧面如图（2），求二面角M-AB-E的大小；（Ⅲ）若将图（1）与图（2）面ACD重合，问该几何体是几面体（不需要证明），并求这几何体的体积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求异面直线AM与BC所成的角，得先作出其平面角来，由图取BD中点N．连AN、MN，可证得∠AMN就是异面直线AM与BC所成的角，在三角形中求解；
（Ⅱ）先作二面角M-AB-E的平面角，取BE中点P．连AP、PM，作MQ⊥AP于Q．过Q作QH⊥AB于H．连MH可证得∠MHQ为二面角M-AB-E的平面角，在所组成的三角形中求角；
（Ⅲ）根据题设中的要求，及图形得出是五面体，再由体积公式求得出体积即可．

解答：解：（Ⅰ）取BD中点N．连AN、MN．
∵MN∥BC
∴∠AMN就是异面直线AM与BC所成的角，在△AMN中，
AM=AN=

3

2

，MN=

1

2

∴∠AMN=arccos

3

6

（4分）
（Ⅱ）取BE中点P．连AP、PM，作MQ⊥AP于Q．过Q作QH⊥AB于H．连MH．
∵EB⊥AP，EB⊥PM
∴EB⊥面APM即EB⊥MQ，
∴MQ⊥面AEB
∴HQ为MH在面AEB上的射影．，即MH⊥AB
∴∠MHQ为二面角M-AB-E的平面角，
在△AMP中，AM=AP=

3

2

，PM=1，MQ=

6

3

，PQ=

3

3

在△ABP中，AQ=AP-PQ=

3

2

-

3

3

，AQ=

6

3

，HQ=

3

12

∴∠MHQ=arctan4

2．

∴二面角M-AB-E的大小，为arctan4

2．

（8分）
（Ⅲ）若将图（1）与图（2）面ACD重合，该几何体是7面体  （9分）
体积=3V_A-BCD=3×

1

3

×

3

4

×

6

3

=

2

4

（12分）

点评：本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积，解题的关键是有较好的空间立体感知能力，对所给的几何体对应的实物图能想像出来，本题知识性较强，要掌握好异面直线所成的角，二面角的作法，以及多面体的体积求法