Question

3．已知正数x，y满足x+2y=1，求$\frac{1}{x+1}$+$\frac{1}{x+3y}$的最小值．

Answer 1

分析 由题意消元并变形可得$\frac{1}{x+1}$+$\frac{1}{x+3y}$=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{-（3-y）-\frac{8}{3-y}+6}$，由基本不等式可得（3-y）+$\frac{8}{3-y}$≥4$\sqrt{2}$，再由不等式的性质可得答案．

解答 解：∵正数x，y满足x+2y=1，∴x=1-2y＞0，
解得y＜$\frac{1}{2}$，∴0＜y＜$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{x+1}$+$\frac{1}{x+3y}$=$\frac{1}{1-2y+1}$+$\frac{1}{1-2y+3y}$
=$\frac{1}{2（1-y）}$+$\frac{1}{1+y}$=$\frac{1+y+2-2y}{2（1-{y}^{2}）}$=$\frac{3-y}{2（1-{y}^{2}）}$
=$\frac{1}{2}$•$\frac{3-y}{-（3-y）^{2}+6（3-y）-8}$
=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{-（3-y）-\frac{8}{3-y}+6}$，
∵（3-y）+$\frac{8}{3-y}$≥2$\sqrt{（3-y）•\frac{8}{3-y}}$=4$\sqrt{2}$，
∴-（3-y）-$\frac{8}{3-y}$+6≤6-4$\sqrt{2}$，
∴$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{-（3-y）-\frac{8}{3-y}+6}$≥$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{6-4\sqrt{2}}$=$\frac{3+2\sqrt{2}}{4}$
当且仅当（3-y）=$\frac{8}{3-y}$即y=3-2$\sqrt{2}$时上式取最小值$\frac{3+2\sqrt{2}}{4}$

点评 本题考查基本不等式求最值，消元并变形为可用基本不等式的形式是解决问题的关键，属中档题．