Question

甲、乙两人在一场五局三胜制的象棋比赛中，规定甲或乙无论谁先赢满三局就获胜，并且比赛就此结束．现已知甲、乙两人每比赛一局甲取胜的概率是

2

3

，乙取胜的概率为

1

3

，且每局比赛的胜负是独立的，试求下列问题：
（Ⅰ）比赛以甲3胜1而结束的概率；
（Ⅱ）比赛以乙3胜2而结束的概率；
（Ⅲ）设甲获胜的概率为a，乙获胜的概率为b，求a：b的值．

Answer 1

分析：（I）每局比赛的胜负是独立的，这是一个相互独立事件同时发生的概率，比赛以甲3胜1而结束，则第四局一定甲胜，前三局中甲胜两局，写出概率．
（Ⅱ） 比赛以乙3胜2而结束，则第五局一定乙胜，前四局中乙胜两局，根据相互独立事件的概率和独立重复试验写出结果
（Ⅲ）甲先胜3局的情况有3种：3胜无败，3胜1败，3胜2败，这三种事件之间是互斥的，根据独立重复试验和互斥事件的概率公式得到结果．做出比值．

解答：解：（Ⅰ）每局比赛的胜负是独立的，这是一个相互独立事件同时发生的概率，
 比赛以甲3胜1而结束，则第四局一定甲胜，前三局中甲胜两局，
∴所求概率为：P=

C

2 3

×(

2

3

)2×

1

3

×

2

3

=

8

27

即比赛以甲3胜1而结束的概率为

8

27

．
（Ⅱ） 比赛以乙3胜2而结束，则第五局一定乙胜，前四局中乙胜两局，
∴所求概率为：P=

C

2 4

×(

1

3

)2×(

2

3

)2×

1

3

=

8

81

即比赛以乙3胜2而结束的概率为

8

81

（Ⅲ）甲先胜3局的情况有3种：3胜无败，3胜1败，3胜2败．这三种事件之间是互斥的，则其概率分别为    

C

3 3

(

2

3

)3=

8

27

，

C

2 3

×(

2

3

)2×

1

3

×

2

3

=

8

27

，

C

2 4

×(

2

3

)2×(

1

3

)2×

2

3

=

16

81

，
于是甲获胜的概率a=

8

27

+

8

27

+

16

81

=

64

81

∴乙获胜的概率b=1-a=

17

81

∴a：b=64：17．

点评：本题考查独立重复试验的概率，解题的关键是对于比赛的最后一局的结果是一个确定的结果，概率是1，这里容易出错．