Question

如图所示，某饲养场要建造一间两面靠墙的三角形露天养殖场，已知已有两面墙的夹角为60°（即∠C=60°），现有可供建造第三面围墙的材料60米（两面墙的长均大于60米），为了使得小老虎能健康成长，要求所建造的三角形露天活动室尽可能大，记∠ABC=θ．
（1）问当θ为多少时，所建造的三角形露天活动室的面积最大？
（2）若饲养场建造成扇形，养殖场的面积能比（1）中的最大面积更大？说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用余弦定理列出关系式，将c，cosC的值代入并利用基本不等式求出ab的最大值，利用三角形的面积公式求出面积的最大值，以及此时θ的值；
（2）利用弧长公式求出AC，再利用扇形面积公式表示出扇形面积，与第一问面积的最大值比较即可得到结果．

解答：解：（1）在△ABC中，由余弦定理：c²=60²=a²+b²-2abcos60°，
∴a²+b²-ab=3600，
∴3600+ab=a²+b²≥2ab，即ab≤3600，
∴S_△ABC=

1

2

AC•BC•sin

π

3

=

3

4

ab≤900

3

，
此时a=b，△ABC为等边三角形，
∴θ=60°，（S_△ABC）_max=900

3

；
（2）若饲养场建造成扇形时，由60=

π

3

×AC，得AC=

180

π

，
∴S_扇形=

1

2

×60×

180

π

=

5400

π

，
∵900

3

=

5400

2 3

≤

5400

π

，
∴养殖场建造成扇形时面积能比（1）中的最大面积更大．

点评：此题考查了余弦定理，基本不等式的应用，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．