Question

(2007福建，22)已知函数．

(1)若k=e，试确定函数f(x)的单调区间；

(2)若k＞0，且对于任意，f(|x|)＞0恒成立，试确定实数k的取值范围；

(3)设函数F(x)=f(x)＋f(－x)，求证：．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：(1)由k=e得，所以． 由得x＞1，故f(x)的单调递增区间是(1，＋∞)， 由得x＜1，故f(x)的单调递减区间是(－∞，1)． (2)由f(|－x|)=f(|x|)可知f(|x|)是偶函数，于是f(|x|)＞0对任意成立等价于f(x)＞0对任意x≥0成立． 由得x=ln k． ①当时，，此时f(x)在[0，＋∞)上单调递增，故f(x)≥f(0)=1＞0，符合题意． ②当时，ln k＞0，当x变化时，的变化情况如下表： 由此可得，在[0，＋∞)上f(x)≥f(ln k)=k－kln k． 依题意，k－kln k＞0，又k＞1，∴1＜k＜e．综合①、②得， 实数k的取值范围是0＜k＜e． (3)∵， ∴， ∴， ， …… ． 由此得，． 故，．