Question

（2012•浦东新区一模）已知复数z1=2sinθ-

3

i，   z2=1+(2cosθ)i，   θ∈[0，π]．
（1）若z₁•z₂∈R，求角θ；
（2）复数z₁，z₂对应的向量分别是

a

，

b

，存在θ使等式（λ

a

+

b

）•（

a

+λ

b

）=0成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据z₁•z₂∈R?虚部=0即可求出；
（2）利用复数的几何意义即可得到λ与θ的关系式，进而即可求出λ的取值范围．

解答：解：（1）∵z₁•z₂=(2sinθ-

3

i)(1+2icosθ)=(2sinθ+2

3

cosθ)+(2sin2θ-

3

)i是实数，
∴2sin2θ-

3

=0，∴sin2θ=

3

2

，
∵0≤θ≤π，∴0≤2θ≤2π，∴2θ=

π

3

或

2π

3

，解得θ=

π

6

或

π

3

．
（2）∵

a

2+

b

2=(2sinθ)2+(-

3

)2+1+（2cosθ）²=8，

a

•

b

=(2sinθ，-

3

)•(1，2cosθ)=2sinθ-2

3

cosθ，
∴(λ

a

+

b

)•(

a

+λ

b

)=λ(

a

2+

b

2)+(1+λ2)

a

•

b

=8λ+(1+λ2)(2sinθ-2

3

cosθ)=0，
化为sin(θ-

π

3

)=-

2λ

1+λ2

，
∵θ∈[0，π]，∴(θ-

π

3

)∈[-

π

3

，

2π

3

]，∴sin(θ-

π

3

)∈[-

3

2

，1]．
∴-

3

2

≤-

2λ

1+λ2

≤1，解得λ≥

3

或λ≤

3

3

．
实数λ的取值范围是(-∞，

3

3

)∪(

3

，+∞)．

点评：熟练掌握z₁•z₂∈R?虚部=0、复数的几何意义、向量的数量积、一元二次不等式的解法是解题的关键．