Question

已知函数

（1）若函数在处的切线方程为，求的值；

（2）若函数在为增函数，求的取值范围；

（3）讨论方程解的个数，并说明理由。

Answer 1

（1） ；（2）；（3）当时，方程无解；当时，方程有惟一解；  当时方程有两解。

解析:

（1）因为：  ，又在处的切线方程为

          

        所以    解得： 

   （2）若函数在上恒成立。则在上恒成立，

       即：在上恒成立。所以有

     （3）当时，在定义域上恒大于，此时方程无解；

当时，在上恒成立，所以在定义域上为增函数。

，，所以方程有惟一解。

当时，

因为当时，，在内为减函数；

当时，在内为增函数。

所以当时，有极小值即为最小值。

当时，，此方程无解；

当时，此方程有惟一解。

当时，

因为且，所以方程在区间上有惟一解，

因为当时，，所以  

所以  

因为  ，所以

所以  方程在区间上有惟一解。

所以方程在区间上有惟两解。

综上所述：当时，方程无解；当时，方程有惟一解；

          当时方程有两解。