Question

在杨辉三角形中，每一行除首末两个数之外，其余每个数都等于它肩上的两数之和．
（1）试用组合数表示这个一般规律；
（2）在数表中试求第n行（含第n行）之前所有数之和；
（3）试探究在杨辉三角形的某一行能否出现三个连续的数，使它们的比是3：4：5，并证明你的结论．
第0行　　　　　　　1
第1行　　　　　　 1　1
第2行　　　　　　1　2　1
第3行　　　　　1　3　3　1
第4行　　　　1　4　6　4　1
第5行　　　1　5　10　10　5　1
第6行　　1　6　15　20　15　6　1．

Answer 1

分析：（1）从杨辉三角形中的数字看出，每一行除首末两个数之外，其余每个数都等于它肩上的两数之和，符合组合数的第二条性质；
（2）杨辉三角中第n行的所有数是二项展开式(1+x)n

=C

0 n

+C

1 n

x

+C

2 n

x2+…

+C

n n

xn的所有二项式系数的和，取x=1可得第n行的所有数字和为2ⁿ，然后利用等比数列求和；
（3）假设在杨辉三角形的某一行能出现三个连续的数，使它们的比是3：4：5，由此列两个关于n和r的方程组，能够解出对应的n和r的值，说明假设成立．

解答：解：（1）设表中任一不为1的数为

C

r n+1

，它肩上的两个数分别为

C

r-1 n

，C

r n

，则有

C

r n+1

=C

r-1 n

+C

r n

；
（2）杨辉三角中第n行的所有数可以看做是二项展开式(1+x)n

=C

0 n

+C

1 n

x

+C

2 n

x2+…

+C

n n

xn的所有二项式系数的和，取x=1可得第n行的所有数字和为2ⁿ，所以数表中第n行（含第n行）之前所有数之和为1+2+2²+…+2ⁿ
=

1-2n+1

1-2

=2ⁿ⁺¹-1；
（3）设

C

r-1 n

：C

r n

：C

r+1 n

=3：4：5，
由

C r-1 n

C r n

=

3

4

，得

r

n-r+1

=

3

4

，即3n-7r+3=0  ①
由

C r n

C r+1 n

=

4

5

，得

r+1

n-r

=

4

5

，即4n-9r-5=0  ②
联立①②解得n=62，r=27．
所以在杨辉三角形的某一行能出现三个连续的数

C

26 62

，C

27 62

，C

28 62

，使它们的比是3：4：5．

点评：本题考查了组合及组合数公式，考查了类比推理，解答此题的关键是明确杨辉三角中的每一行的数都是在n取不同值时的二项展开式的二项式系数，是基础题．