Question

12．在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁ 中，AC=4，CB=2，AA₁=2，∠ACB=60°，E、F分别是A₁C₁，BC的中点．
（1）证明：C₁F∥平面ABE；
（2）设P是BE的中点，求三棱锥P-B₁C₁F的体积．

Answer 1

分析 （1）取AC的中点M，连接C₁M，FM，则FM∥AB，然后由线面平行的判定得FM∥平面ABE，在矩形ACC₁A₁中，由已知得C₁M∥AE，再由面面平行的判定得平面ABE∥平面FMC₁，从而得到C₁F∥平面ABE；
（2）取B₁C₁中点H，连接EH，则EH∥AB，且EH=$\frac{1}{2}AB$=$\sqrt{3}$，在由AB⊥平面BB₁C₁C，得EH⊥平面BB₁C₁C，结合P是BE的中点，利用等积法求得${V}_{P-{B}_{1}{C}_{1}F}=\frac{1}{2}{V}_{E-{B}_{1}{C}_{1}F}$得答案．

解答 证明：（1）取AC的中点M，连接C₁M，FM，则FM∥AB，
又FM?平面ABE，AB?平面ABE，
∴FM∥平面ABE，
在矩形ACC₁A₁中，E、M分别为A₁C₁、AC的中点，
∴C₁M∥AE，
而C₁M?平面ABE，
∴C₁M∥平面ABE，
又∵C₁M∩FM=M，
∴平面ABE∥平面FMC₁，
又∵C₁F?平面C₁FM，
∴C₁F∥平面ABE；
解：（2）取B₁C₁中点H，连接EH，则EH∥AB，且EH=$\frac{1}{2}AB$
在△ABC中，∵AC=4，CB=2，AA₁=2，∠ACB=60°，
∴AB=2$\sqrt{3}$，
则EH=$\sqrt{3}$，由AB⊥平面BB₁C₁C，得EH⊥平面BB₁C₁C，
∵P是BE的中点，
∴${V}_{P-{B}_{1}{C}_{1}F}=\frac{1}{2}{V}_{E-{B}_{1}{C}_{1}F}=\frac{1}{2}×\frac{1}{3}{S}_{△{B}_{1}{C}_{1}F}•EH=\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×2×\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查直线与平面平行的判定，考查棱锥体积的求法，考查了空间想象能力和思维能力，是中档题．