Question

如图，平面ABCD⊥平面PAD，△APD是直角三角形，∠APD=90°，四边形ABCD是直角梯形，其中BC∥AD，∠BAD=90°，AD=2BC，O是AD的中点
（1）求证：CD∥平面PBO；
（2）求证：平面PAB⊥平面PCD．

Answer 1

证明：（1）因为AD=2BC，且O是AD中点，
所以OD=BC，又AD∥BC，所以OD∥BC，
所以四边形BCDO为平行四边形，（2分）
所以CD∥BO，CD?平面PBO，
且BO?平面PBO，故CD∥平面PBO；（6分）
（2）因为∠BAD=90°，所以BA⊥AD，
又平面PAD⊥平面ABCD，
且平面PAD∩平面ABCD=AD，AB?平面ABCD，
∴AB⊥平面PAD，（8分）PD?平面PAD，
∴AB⊥PD，AP⊥PD，AB∩AP=A，
∴PD⊥平面PAB，（12分）∵PD?平面PCD，
故平面PAB⊥平面PCD． （14分）